Відхилення відносної частоти від ймовірності в незалежних випробуваннях

Оцінка відхилення відносної частоти від сталої ймовірності. Ймовірність того, що в n незалежних цих випробуваннях, в яких ймовірність появи події рівна p(0<p<1)абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не перевищить деяке додатне число приблизно рівна подвоєній функції Лапласа

При )

63. Ймовірність появи події в кожному з 625 незалежних випробувань рівна 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірність по модулю не більше, ніж на 0,04.

Розв’язання. За умовою n=625; р==0,8; q=0,2; =0,04 Потрібно знайти ймовірність . Скористаємося формулою

маємо

За таблицею у додатку 2 знайдемо Ф (2,5) = 0,4938. Отже 2Ф (2,5) = 2*0,4938=0,9876. Отже, шукана ймовірність приблизно рівна 0,9876.

64. Ймовірність появи події в кожному з 900 незалежних випробувань рівна 0,5. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,02.

65. Ймовірність появи події в кожному з 10 000 незалежних випробувань рівна 0,75. Знайти ймовірності того, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірність за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,01.

66. Французький вчений Бюффон (XVIII ст.) кинув монету 4040 разів, причому «герб» з’явився 2048 разів. Знайти ймовірність того, що при повторенні досліду Бюффона відносна частота появи «герба» відхилиться від ймовірності появи «герба» за абсолютною величиною не більше, ніж в досліді Бюффона.

67. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань рівна 0,5. Знайти число випробувань n, при якому з ймовірністю 0,7698 можна очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,02.

Розв’язання. За умовою, р = 0,5; q=0,5; =0,02;

Скористаємося формулою:

За умовою ,

або

За таблицею у додатку 2 знайдемо Ф (1,2) = 0,3849. Послідовно або

Таким чином, шукане число випробувань n=900.

68. Скільки разів потрібно кинути гральну кістку, щоб ймовірність нерівності була не менше, ніж ймовірність протилежної нерівності, де m-число появи одного очка в n підкиданнях гральної кістки?

69. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань рівна 0,2. Знайти найменше число випробувань n, при якому з ймовірністю 0,99 можна очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,04.

Найімовірніше число появ події у незалежних випробуваннях

Число (появи події в незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події рівна р) називають найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія відбудеться в цих випробуваннях k₀ разі, перевищує (або, принаймні, не менше) ймовірності решти можливих результатів випробувань. Найімовірніше число k₀ визначають з подвійної нерівності np-q< k₀ <nр+p причому:

а) якщо число np-q - дріб, то існує одне найімовірніше число k₀;

б) якщо число np-q - ціле, то існують два найімовірніших числа, а саме: k₀ і k+1

в) якщо число nр - ціле, то найімовірніше число k₀=np.

70. Випробовується кожний з 15 елементів певного пристрою. Ймовірність того, що елемент витримає випробування, рівна 0,9. Знайти найімовірніше число елементів, які витримають випробування.

Розв’язання . За умовою, n= 15,р=0,9 q=0,1. Знайдемо найімовірніше число з подвійної нерівності

Підставивши дані завдання, отримаємо

, або

Оскільки k₀- ціле число і оскільки між числами 13,4 і 14,4 розміщене одне ціле число, а саме 14, то шукане найімовірніше число k₀ =14.

71. Відділ технічного контролю перевіряє партію з 10 деталей. Ймовірність того, що деталь стандартна рівна 0,75. Знайти найімовірніше число деталей, які будуть визнані стандартними.

72. Товарознавець оглядає 24 зразки товарів. Ймовірність того, що кожний із зразків буде визнаний придатним до продажу, рівна 0,6. Знайти найімовірніше число зразків, які товарознавець визнає придатними до продажу.

73. Два стрілки стріляють по мішені. Ймовірність промаху при одному пострілі для першого стрілка рівна 0,2, а для другого - 0,4. Знайти найімовірніше число залпів, при яких не буде жодного попадання в мішень, якщо стрілки проведуть 25 залпів

Розв’язання. Промахи стрілків є незалежні події, тому застосовна теорема множення ймовірності незалежних влучень. Ймовірність того, що обидва стрілки при одному залпі промахнуться р = 0,2.0,4=0,08. Оскільки добуток nр = 25.0,08 = 2 - ціле число, то найімовірніше число залпів, при яких не буде жодного влучення k₀ = nр = 2.

74. Два стрілки одночасно стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрілка рівна 0,8, а для другого - 0,6. Знайти найімовірніше число залпів, при яких обидва стрілки влучать в мішень, якщо буде проведено 15 залпів.