Точкові оцінки

Статистичною оцінкою θ* невідомого параметра θ теоретичного розподілу називають функцію f( x₁,x₂, ... , x_n) від випадкових величин x₁, x₂, … , x_n , що спостерігаються.

Точковою називають статистичну оцінку, яка визначається одним числом

θ * = f(x₁, x₂, … , x_n)y,

де x₁ ,x₂, … , x_n результати п спостережень над кількісною ознакою X (вибірка).

Незміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої дорівнює параметру, що оцінюється, при будь-якому об’єму вибірки.

Зміщеною називають точкову оцінку, математичне сподівання якої не дорівнює параметру, що оцінюється.

Незміщеною оцінкою генеральною середньою (математичного сподівання) є вибіркова середня

де x_і - варіанта вибірки, n_і –частота варіанти x_і, - об'єм вибірки.

Зауваження 1. Якщо вихідні варіанти x_i – великі числа, то для спрощення розрахунку доцільно відняти від кожної варіанти одне і те ж число C, тобто перейти до умовних варіант u_i = x_i-C (у якості C зручно прийняти число, близьке до вибіркової середньої; оскільки вибіркова середня невідома, число C вибирають «на око»). Тоді

Зміщеною оцінкою генеральної дисперсії служить вибіркова дисперсія

Ця оцінка є зміщеною, оскільки M(D_в) = (n-1/n)D_г

Більш зручна формула

Зауваження 2. Якщо вихідні варіанти x_i – великі числа, то доцільно перейти до умовних варіант u_i = x_i - C (Дисперсія при цьому не зміниться).

Тоді

Зауваження 3. Якщо вихідні варіанти є десятковими дробами з k десятковими знаками після коми, то щоб уникнути дій з дробами, перемножують вихідні варіанти на стале число С=10^k, тобто переходять до умовних варіант u_i=Cx_i. При цьому дисперсія збільшиться в разів. Тому, знайшовши дисперсію умовних варіант, треба розділити її на :

D_в(x) = D_в(u)/C²

Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії служить виправлена вибіркова дисперсія

S²=n/(n-1)D_в=­Σn_i(x_i-)²/(n-1)

в умовних варіантах вона має вигляд;

s_u² = (Σn_iu_i² – [Σn_iu_i]²/n)/(n-1)

причому якщо u_i = x_i – C, то s²_x=s_u² ; якщо u_i = Cx_i , то s²_x = s_u²/C²

Зауваження 4. При великому числі даних використовують методдобутків або метод сум.

174. З генеральної сукупності добута вибірка об'єму n=50:

варіанту х_i 2 5 7 10

частота n_i 16 12 8 14

Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.

175. З генеральної сукупності добута вибірка об'єму n=60:

х_i 1 3 6 26

n_i 8 40 10 2

Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.

176. Знайти вибіркову середню за даним розподілом вибірки об'єму n=10:

х_i 1250 1270 1280

n_i 2 5 3

Розв’язання . Первинні варіанти — великі числа, тому перейдемо до умовних варіантів. ui= х_i - 1270. У результаті отримаємо розподіл умовних варіант:

u_i -20 0 10

n_i 2 5 3

Знайдемо шукану вибіркову середню:

177. Знайти вибіркову середню за даним розподіломвибірки об'єму n = 20:

х_i 2560 2600 2620 2650 2700

n_i 2 3 10 4 1

Вказівка. Перейти до умовних варіант u_i= n_i -2620.

178. По вибірці об'єму n = 41 знайдена зміщена оцінка D_в = 3 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності.

Розв’язання. Шукана незміщена оцінка рівна виправленій дисперсії:

S² = D_в = = 3,075.

179. За вибіркою об'єму n= 51 знайдена зміщена оцінка D_в = 5 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності.

180. У результаті п'яти вимірювань довжини деталі одним приладом (без систематичних помилок) отримані наступні результати (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Знайти: а) вибіркову середню довжину деталі; б)вибіркову і виправлену дисперсії помилок приладу.

Розв’язання: а) Знайдемо вибіркову середню:

б) Знайдемо вибіркову дисперсію:

Знайдемо виправлену дисперсію:

181. У результаті чотирьох вимірювань деякої фізичної величини одним приладом (без систематичних помилок) отримані наступні результати: 8; 9; 11; 12. Знайти: а) вибіркову середню результатів вимірювань; б) вибіркову і виправлену дисперсії помилок приладу.

182. Знайти вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об'єму n=10:

х_i 0,01 0,04 0,08

n_i 5 3 2

Розв’язання. Для того, щоб уникнути дій з дробами перейдемо до умовних варіантів u_i= 100 х_i . У результаті отримаємо розподіл

u_i 1 4 8

n_i 5 3 2

Знайдемо вибіркову дисперсію умовних варіант:

D_в (u) =

Підставивши в цю формулу умовні варіанти і їх частоти, отримаємо

D_в (u) = 7,21.

Знайдемо шукану вибіркову дисперсію первинних варіант:

D_в (X) = D_в(u)/1002 =7,21/10 000 = 0.0007.

183. Знайти вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об'єму n= 50:

х_i 0,1 0,5 0,6 0,8

n_i 5 15 20 10

Розв’язання. Перейти до умовних варіантів ui=10 хi

184. Знайти вибіркову дисперсію за даним розподіломвибірки об'єму n = 50:

х_i 18,4 18,9 19,3 19,6

n_i 5 10 20 15

Розв’язання. Перейти до умовних варіантів u_i=10 х_i - 195

185. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки n = 10:

х_i 102 104 108

n_i 2 3 5

Розв’язання. Перейдемо до умовних варіантів u_i=х_i - 104. У результаті отримаємо розподіл

u_i -2 0 4

n_i 2 3 5

Знайдемо виправлену вибіркову дисперсію умовних варіант:

Підставивши в цю формулу умовні варіанти, їх частоти і об'єм вибірки, отримаємо S²_u=6,93.

Всі вхідні варіанти були зменшені на одне і те ж постійне число С =104, тому дисперсія не змінилася, тобто шукана дисперсія рівна дисперсії умовних варіант:

s²_x=s²_u=6,93.

186. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об'єму n = 100:

х_i 1250 1275 1280 1300

n_i 20 25 50 5

Вказівка. Перейти до умовних варіантів u_i=х_i - 1275.

187. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об'єму п=10:

х_i 0,01 0,05 0,09

n_i 2 3 5

Розв’язання. Для того, щоб уникнути дій з дробами, перейдемо

до умовних варіантів u_i = 100 х_i . В результаті отримаємо розподіл

u_i 1 5 9

n_i 2 3 5

Знайдемо виправлену вибіркову дисперсію умовних варіант

Підставивши в цю формулу дані задачі, отримаємо

S² u =10,844.

Знайдемо шукану виправлену дисперсію вихідних варіант:

S² u = S² u /1002 =10,844/10 000 ≈0,0085.

188. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об'єму n= 20:

х_i 0,1 0,5 0,7 0,9

n_i 6 12 1 1

Вказівка. Перейти до умовних варіантів u_i=10х_i

189. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об'єму п = 10:

х_i 23,5 26,1 28,2 30,4

n_i 2 3 4 1

Вказівка. Перейти до умовних варіантів _ui=10х_i -268.

190. З генеральної сукупності вибрана вибірка об'єму n = 60:

x_i 1 3 6 26

n_i 8 40 10 2

Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.

191. Знайти вибіркову середню за даним розподілом вибірки об'єму n = 10:

x_i 1250 1270 1280

n_i 2 5 3

192. Нижче наведені результати вимірювання росту (у см) випадково відібраних 100 студентів.

Ріст 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178 178-182

Число

Студентів 10 14 26 28 12 8 2

Знайти вибіркову середню і вибіркову дисперсію росту обстежених студентів.

Вказівка. Знайти середини інтервалу і прийняти їх в якості варіант.

193. Знайти вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об'єму n =100:

x_i 340 360 375 380

n_i 20 50 18 12

Вказівка. Перейти до умовних варіант u_i = x_i – 360.

194. Знайти вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об'єму n = 100:

x_i 2502 2804 2903 3028

n_i 8 30 60 2

Вказівка. Перейти до умовних варіант u_i = x_i – 2844.

195. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки n= 10:

x_i 102 104 108

n_i 2 3 5