Інтервальні оцінки

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, який оцінюється.

Довірчим називають інтервал, який з заданою надійністю γ покриває параметр,який оцінюється.

1) Інтервальною оцінкою (з надійністю γ) математичного сподівання а нормально розподіленої кількісної ознаки X за вибірковою середньою при відомому середньому квадратичному відхиленні σ генеральної сукупності служить довірчий інтервал

,

де точність оцінки, n- об`єм вибірки, t- значення аргументу функції Лапласа Ф(t) (див. додаток 2), при якому Ф(t)=γ/2; при невідомому σ (і об`ємі вибірки n<30)

.

де s-«виправлене» вибіркове середнє квадратичне відхилення,tзнаходять за таблицею додатка 3 по заданих n і γ.

2) Інтервальною оцінкою (з надійністю γ) середнього квадратичного відхилення σ нормально розподіленої кількісної ознаки X за «виправленим» вибірковим середнім квадратичним відхиленням s служить довірчий інтервал

(при q < 1),

(при q > 1).

де q знаходять за таблицею додатка 4 по заданих n і γ .

196. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного сподівання α нормально розподіленої ознаки X генеральної сукупності, якщо генеральне середнє квадратичне відхилення σ=5, вибіркова середня =14 і об`єм вибірки n=25.

Розв`язання. Потрібно знайти довірчий інтервал

Всі величини, крім t, відомі. Знайдемо t із співвідношення Ф(t)=0,95/2 = =0,475. За таблицею додатка 2 знаходимо t=1,96. Підставивши t=1,96, =14, σ =5, n=25, остаточно одержимо шуканий довірчий інтервал 12,04 <α <15,96.

197. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,99 невідомого математичного сподівання α нормально розподіленої ознаки X генеральної сукупності, якщо відомі генеральне середнє квадратичне відхилення σ, вибіркова середня і об’єм вибірки n: а) σ=4,=10,2, n=16; б) σ=5,=16,8, n=25.

198. Одним і тим же приладом із середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок вимірювань σ=40 м проведено п'ять рівноточних вимірювань відстані від гармати до цілі. Знайти довірчий інтервал для оцінки дійсної відстані α до мети з надійністю γ=0,95, якщо відоме середнє арифметичне результатів вимірів =2000 м.

Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

199. Вибірка з великої партії електроламп містить 100 ламп. Середня тривалість горіння лампи вибірки виявилася рівною 1000 ч. Знайти з надійністю 0,95 довірчий інтервал для середньої тривалості α роботи лампи всієї партії, якщо відомо, що середнє квадратичне відхилення тривалості роботи лампи σ=40 ч. Передбачається, що тривалість роботи ламп розподілена нормально .

200. Верстат-автомат штампує, валики. За вибіркою об'єму n = 100 обчислена вибіркова середня діаметрів виготовлених валиків. Знайти з надійністю 0,95 точність σ, з якою вибіркова середня оцінює математичне сподівання діаметрів валиків,що виготовляється якщо їх середньоквадратичне відхилення σ = 2 мм. Передбачається, що діаметри валиків розподілені нормально.

201. Знайти мінімальний об`єм вибірки, при якому з надійністю 0,975 точність оцінки математичного сподівання α генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює δ = 0,3, якщо відомо середнє квадратичне відхилення σ=1,2 нормально розподіленої генеральної сукупності.

Розв’язання. Скористаємося формулою, що визначає точність оцінки математичного сподівання генеральної сукупності за вибірковою середньою: звідси.

За умовою, γ=0.975; отже, Ф(t)=0,975/2=0,4875. За таблицею додатка 2 знайдемо t=2,24. Підставивши t=2,24, σ=1,2 і δ=0,3 в (*), отримаємо шуканий обсяг вибірки n=81.

202. Знайти мінімальний об`єм вибірки, при якому з надійністю 0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ=1,5.

203. З генеральної сукупності добута вибірка об'єму n = 10:

варіанта x_i -2 1 2 3 4 5

частота n_i 2 1 2 2 2 1

Оцінити з надійністю 0,95 математичне сподівання нормально розподіленої ознаки генеральної сукупності за вибірковою середньою за допомогою довірчого інтервалу.

Розв’язання. Вибіркову середню та «виправлене» середньоквадратичне відхилення знайдемо відповідно за формулами:

, .

Підставивши в ці формули дані задачі, отримаємо = 2, s = 2,4.

Знайдемо t_γ . Користуючись таблицею додатка 3, з γ = 0,95 і n = 10 знаходимо t_γ = 2,26.

Знайдемо шуканий довірчий інтервал:

Підставляючи = 2, t_γ = 2,26, s = 2,4, n = I0, отримаємо шуканий довірчий інтервал 0,3 < α <37, що покриває невідоме математичне сподівання з надійністю 0,95.

204. З генеральної сукупності добута вибірка об'єму n=12:

Варіанта	xi	-0.5	-0.4	-0.2	0	0.2	0.6	0.8	1	1.2	1.5
Частота	ni	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Оцінити з надійністю 0,95 математичне сподівання а нормально розподіленої ознаки генеральної сукупності за допомогою довірчого інтервалу.

205. За даними дев'яти незалежних рівноточних вимірювань деякої фізичної величини знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань і «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 6. Оцінити дійсне значення вимірюваної величини за допомогою довірчого інтервалу з надійністю. Вважається, що результати вимірювань розподілені нормально.

Розв’язання. Дійсне значення вимірюваної величини дорівнює її математичному сподіванню а. Тому задача зводиться до оцінки математичного сподівання (при невідомому а) за допомогою довірчого інтервалу

Всі величини, окрім t_y , відомі. За таблицею додатку 3 за

= 0,99 і n = 9 знаходимо t = 2,36.

Підставивши = 30,1, t_y = 2,36, s = 6, n=9 в (*), отримаємо шуканий інтервал:

25,38 <α< 34,82.

206.За даними 16 незалежних рівноточних вимірювань деякої фізичної величини знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань і «виправлене» середнє квадратичне відхилення s = 8. Оцінити дійсне значення вимірюваної величини з надійністю .

207. За даними вибірки об'єму n=16 з генеральної сукупності знайдено «виправлене» середнє квадратичне відхилення s=l нормально розподіленої кількісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95.

Завдання зводиться до відшукання довірчого інтервалу

s(1 – q ) < σ < s(1+q) (якщо q<1) або 0 < σ < s (1+q) (якщо q>1) (*)

_{За заданим і n = 16 з таблиці додатку 4 знайдемо q=0,44. Оскільки, то, підставивши s = 1, в співвідношення (*), отримаємо шуканий довірчий інтервал 0,56 < σ < 1,44.}

_{208. За заданими вибірки об'єму п з генеральної сукупності нормально розподіленої кількісної ознаки знайдено «виправлене» середнє квадратичне відхилення s. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,999, якщо: а) n =10, s = 5,1; б) n = 50, s=14.}

209. Проведено 12 вимірювань одним приладом (без систематичних помилок) деякої фізичної величини, причому «виправлене» середнє квадратичне відхилення s випадкових помилок вимірювань виявилося рівним 0,6. Знайти точність приладу з надійністю 0,99.Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

Розв’язання. Точність приладу характеризується середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок вимірювань. Тому завдання зводиться до відшукання довірчого інтервалу, що покриває є із заданою надійністю .

Зо заданим і n = 12 з таблиці додатку 4 знайдемо q=0,9. Підставивши s =0,6, q=0,9 в співвідношення (*), остаточно отримаємо:

_{0,06 < σ < 1,14.}

210. Проведено 10 вимірювань одним приладом (без систематичних помилок) деякої фізичної величини, причому «виправлене» середнє квадратичне відхилення s випадкових помилок вимірювань виявилося рівним 0,8. Знайти точність приладу з надійністю 0,95. Вважається, що результати вимірювань розподілені нормально.