Metodi_optimizatsiyi

УДК 519.6.

Попов Ю.Д., Тюптя В.І., Шевченко В.І. Методи оптимізації. Навчальний електронний посібник для студентів спеціальностей “Прикладна математика”, “Інформатика”, “Соціальна інформатика”. − Київ: Електронне видання. Ел.

бібліотека факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, 2003.−215 с.

У посібнику викладені основи сучасних методів оптимізації у відповідності з програмою курсу дослідження операцій, який читається на факультеті кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Посібник охоплює як у теоретичному, так і у практичному аспекті основні розділи лінійного, дискретного, нелінійного та опуклого програмування, транспортні задачі і основні оптимізаційні задачі на мережах, основи теорії матричних ігор.

Призначений для студентів університетів та спеціальностей “Прикладна математика”, “Інформатика”, “Соціальна інформатика”, а також для осіб, що спеціалізуються в області математичних методів дослідження операцій чи їх застосувань або вивчають їх самостійно.

Іл. − 52, табл. − 41, бібліогр. − 22.

Рецензенти: І.М.Ляшенко, д-р фіз-мат. наук, А.А.Чикрій, д-р фіз-мат. наук

Затверджено вченою радою факультету кібернетики 21 жовтня 2002 року

Електронна бібліотека факультету кібернетики КНУ, 2003

2

Роздiл 1. Лiнiйне програмування

Однiєю з найважливіших задач оптимізації є задача математичного

програмування, що полягає в пошуку екстремуму (мінімуму або максимуму)

функції f ( x ) при умовах gi ( x ) ≤0, i = 1,...,m, x X E n.

Якщо функції f ( x ), gi ( x ), i = 1,...,m, — лінійні, а область X задається

обмеженнями вигляду lj ≤xj ≤rj, j = 1,...,n, то вказана задача називається задачею

лінійного програмування (ЗЛП). Уперше постановка ЗЛП та один із методів її розв'язання були запропоновані Л.В. Канторовичем у роботі "Математические методы организации и планирования производства" у 1939 році. У 1947 році

Дж. Данцiг розробив симплексний метод (симплекс-метод) — один із основних

методів розв'язування ЗЛП. З тих пір теорія лінійного програмування бурхливо

розвивалася i нині носить цiлiсний, в основному, закінчений характер.

Зауважимо, що на розвиток теорії лінійного програмування суттєво впливало її застосування до розв'язування (з широким використанням ЕОМ) прикладних

задач, пов'язаних з оптимальним плануванням, організацією та управлінням у різноманітних сферах людської діяльності.

Систематичне вивчення теорії лінійного програмування розпочнемо з розгляду типових, що стали класичними, прикладів ЗЛП.

§ 1. Приклади задач лінійного програмування

1. Задача про перевезення (транспортна задача)

У пунктах Pi ( i = 1,...,m ) виробляється деякий однорідний продукт, причому в пункті Pi виробляється a i одиниць цього продукту. У пункті Q j ( j = 1,...,n ) споживається b j одиниць цього ж продукту. Припускаємо, що

Нехай c i j — собівартість перевезення одиниці продукту з пункту виробництва Pi у пункт споживання Q j (транспортні витрати). Необхiдно знайти план

перевезень продукту таким чином, щоб задовольнити потреби всіх споживачів, мiнiмiзуючи при цьому загальні транспортні витрати.

Нехай x i j — невідома кількість продукту, що планується для перевезення з Pi в Q j. Тоді транспортна задача, яку прийнято називати транспортною задачею

лінійного програмування (ТЗЛП), полягає у знаходженні матриці перевезень

X = || x i j || , i = 1,...,m, j = 1,...,n, що мiнiмiзує загальні транспортні витрати

m n

∑∑ci j xi j i =1 j =1

при обмеженнях

n

∑xi j = ai , i =1,...,m,

j =1

3

m

∑xi j = b j , j =1,...,n,

i=1

xi j ≥ 0,i =1,...,m, j =1,...,n.

2.Задача про харчовий раціон (задача про дієту)

Харчовий раціон може складатися з продуктів P1,...,Pn (хліб, масло, молоко i т. iн.). Вiдомо, що в одиниці продукту Pj міститься a i j , i = 1,...m, одиниць поживної

речовини Vi (білки, жири, вуглеводи i т. iн.) Нехай c j — вартість одиниці продукту Pj . Припускається, що харчовий раціон повинен містити не менше b i одиниць

речовини Vi . При вказаних обмеженнях потрібно знайти раціон найменшої

вартості.

Формалiзуємо цю задачу. Нехай xj — кількість продукту Pj у шуканому раціоні. Тоді вектор x = (x1,...,xn) визначає деякий раціон вартістю

n

∑ c j x j . j =1

Кiлькiсть поживної речовини Vi у раціоні x дорівнює

n

∑ a i j x j . j =1

Таким чином, задача про харчовий раціон зводиться до мінімізації функції

P j , j = 1,...,n, що максимiзує за цих умов прибуток підприємства.

Легко бачити, що сформульована задача формально зводиться до знаходження вектора x = (x1,...,xn), що максимiзує функцію

4

n

∑ c j x j j =1

при обмеженнях

n

∑ a i j x j ≤ b i , i =1,...,m, j =1

xj ≥ 0, j = 1,...,n.

Незважаючи на змістовні відмінності, усі приведені приклади мають багато спільного. Це спільне полягає в лінійності функцій, що підлягають мінімізації

(максимiзацiї) та функцій, що входять в обмеження (рівності або нерівності).

§ 2. Загальна задача лінійного програмування

Загальна ЗЛП (ЗЗЛП) формулюється таким чином.

Знайти вектор x = (x1,...,xn) E n, що мiнiмiзує (максимiзує) лінійну функцію

j=1

iзадовольняє систему лінійних обмежень

де символ Ri замінює один із знаків ≤, =, ≥.

Обмеження (1.3) називаються прямими i, як правило, не включаються до

непрямих обмежень (1.2).

Вектор х, що задовольняє обмеження (1.2), (1.3), називається допустимим

Функцiя L(x) називається цільовою, x * D, що доставляє цільовій функції мінімум (максимум), називається оптимальним розв'язком ЗЛП i часто записується у вигляді

x* = arg min (max) L(x). x D

Величина L ( x * ) називається оптимальним значенням цільової функції.

Зауважимо також, що той факт, що цільова функція L ( x ) має бути мiнiмiзована (максимiзована), часто записується у вигляді

n

L(x ) = ∑ c j x j → min (max) .

j =1

5

§ 3. Властивості допустимої області

Будь-яка точка опуклої лінійної оболонки називається опуклою лінійною

комбінацією точок x 1,...,x r.

При r = 2 опукла лінійна оболонка називається відрізком, що з'єднує точки x 1,

гiперплощиною в E n.

Перетином двох множин називається множина тих i тільки тих точок, що належать обом множинам.

Лема 1.1. Перетин опуклих множин є опуклою множиною.

Доведення. Нехай A та B опуклі множини, A∩B — їх перетин. Розглянемо довільні точки x1,x2 A∩B. За означенням перетину множин x1,x2 A, x1,x2 B.

Оскільки A та B — опуклі множини, то [ x 1, x 2] A, [ x 1, x 2] B. Звiдси за

означенням перетину [ x 1, x 2] A∩B.

Лема 1.2. Пiвпростiр є опуклою множиною.

Доведення. Розглянемо, наприклад, пiвпростiр

j =1

6

≤ αb + (1–α) b = b.

Це означає, що довільна точка x відрізка [ x 1, x 2] належить P. Отже пiвпростiр є опуклою множиною.

Лема 1.3. Гiперплощина є опуклою множиною.

Доведення. Гiперплощина (1.4) є перетин пiвпросторiв

що є опуклими множинами згідно леми 1.2, отже, гiперплощина є опуклою

множиною згідно леми 1.1.

Означення 1.1. Многогранною множиною називається перетин скiнченного числа пiвпросторiв. Обмежена многогранна множина називається многогранником.

Зрозумiло, що допустима множина D ЗЛП є многогранною множиною (якщо вона не порожня). Iнколи область D називають многогранником, додаючи слова

"обмежений" або "необмежений".

Безпосереднiм наслідком цих означень та доведених тверджень є така теорема.

Теорема 1.1. Допустима множина D ЗЛП є опуклою многогранною множиною.

Отже, ЗЛП полягає у знаходженні мінімуму (максимуму) лінійної функції L(x )

на опуклій многограннiй множині D.

Означення 1.2. Точка x опуклої множини X називається кутовою

(крайньою), якщо її не можна представити у вигляді

x=αx 1 + (1–α) x 2, де x 1, x 2 X, x 1 ≠ x 2, 0 <α<1 .

Згеометричної точки зору точка x є крайньою точкою множини X , якщо її не можна розташувати усередині відрізка, кінці якого належать X .

Кутові точки опуклої многогранної множини називаються її вершинами.

§4. Геометричне тлумачення задачі лінійного програмування

Розглянемо конкретні приклади у двовимірному просторі.

7

Приклад 1.1. Розглянемо ЗЛП

L(x) = x1 + x2 → max,

– x1 + 2 x2 ≤ 6, 9 x1 + 4 x2 ≤ 56,

3 x1 + 5 x2 ≥ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Допустима область D цієї ЗЛП зображена на рис.1.1 i являє собою

п'ятикутник з вершинами V1(0,4/5 ), V2(0,3 ), V3(4,5 ), V4(5 6 / 9 ,0 ), V5(4 / 3 , 0 ).

x2

V3

називається лінією рівня цільової функції.

У розглянутому прикладі лінії рівня цільової функції x1 + x2 = const при різних

значеннях const є сімейством паралельних прямих зі спільним вектором нормалі n (1,1).

Вiдомо, що значення const зростає, якщо ці прямі переміщувати у напрямку нормалі n.

Звiдси з очевидністю випливає, що максимального значення цільова функція досягає у вершині V3(4,5 ) області D, тобто x * = (4,5 ), L(x * ) = 9.

Приклад 1.2. Розглянемо ЗЛП

L(x) = x1 + x2 → max,

– x1 + 2 x2 ≤ 6,

3 x1 + 5 x2 ≥ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

8

Цей приклад одержано з попереднього, де відкинуто друге непряме обмеження. З рис. 1.2 випливає, що

max L(x) = ∞ . x D

Зауважимо, що, взагалі кажучи, з необмеженості області D не випливає

необмеженість зверху (знизу) цільової функції у допустимій області.

Приклад 1.3. Розглянемо ЗЛП

L(x) = 9 x1 + 4 x2 → max,

– x1 + 2 x2 ≤ 6, 9 x1 + 4 x2 ≤ 56, 3 x1 + 5 x2 ≥ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Цей приклад відрізняється від першого лише цільовою функцією.

Рис. 1.3

Аналiзуючи рис. 1.3, приходимо до висновку, що максимального значення, рівного 56, цільова функція досягає у будь-якiй точці сторони V3V4 п'ятикутника D.

9

§ 5. Властивості розв'язкiв задачі лінійного програмування

Приклади, розглянуті у попередньому параграфі, наводять на думку, що

оптимальний розв'язок ЗЛП (якщо він існує) співпадає з вершиною допустимої

області (у деяких випадках — з її гранню або ребром).

Заради простоти розглянемо випадок, коли D — многогранник.

Наведемо без доведення допоміжне твердження, яке необхідне для

подальшого викладу.

Лема 1.4. Будь-яка точка многогранника є опуклою лінійною комбінацією

його вершин.

Теорема 1.2. Цiльова функція ЗЛП досягає оптимального значення у

вершині многогранника розв'язкiв. Якщо цільова функція досягає цього значення

у двох та більше точках, то вона досягає того ж значення у будь-якiй точці, що

є їх опуклою лінійною комбінацією.

Доведення. Нехай x i, i = 1,...,r, — вершини многогранника D i , розглядаючи

задачу мінімізації, покладемо

x* = arg min L(x) . x D

Останнє співвідношення означає, що

де c = (c 1 , . . . , c n ).

Якщо x * — вершина D, то першу частину теореми доведено. Нехай x * не є вершиною D. За лемою 1.4 існують αi ≥ 0, i=1,...,r, α1+...+αr =1, такі, що

r

x * = ∑ α i x i.

i =1

Використовуючи відомі властивості скалярного добутку, маємо

де x k — така вершина, що

(c, x k ) = min (c, x i ) .

1≤i ≤r

Iз співвідношень (1.6) та (1.7) випливає, що ( c , x * ) = ( c , x k), а це означає, що

існує вершина x k допустимої області D, де цільова функція приймає найменше

значення.

Доведемо другу частину теореми. Нехай цільова функція досягає

мінімального значення у точках x 1,...,x s тобто

(c, x i ) = l = min L(x) , i =1,...,s. x D

10