Завдання для самостійної роботи №2 з модуля «Випадкові події та випадкові величини»
Варіант №0
1. В двох ящиках є деталі. Ймовірність того, що деталі в першому ящику стандартні дорівнює 0,85, а в другому - 0,9. Яка ймовірність того, що взята навмання деталь з будь-якого ящика буде стандартною.
Розв’язання. Введемо позначення подій:
А - взята навмання деталь з будь-якого ящику буде стандартною;
В1 – деталь, взята з першого ящика;
В2 – деталь, взята з другого ящика.
За формулою повної ймовірності маємо:
.
За
умовою беремо одну деталь із одного з
двох ящиків, тому
.
Ймовірність взяти стандартну деталь з
першого ящика дорівнює 0,85, з другого -
0,9.
Отже,
.
Відповідь:
.
2. Два рівносильні шахісти грають в шахмати. Що ймовірніше: виграти дві партії з чотирьох або три партії з шести (нічиї до уваги не приймаються)?
Розв’язання.
Грають рівносильні шахісти, тому
ймовірність виграшу
;
отже, ймовірність програшу q також рівна
.
Оскільки у всіх партіях ймовірність
виграшу постійна і байдуже, в якій
послідовності будуть виграні партії,
то застосовна формула Бернуллі. Знайдемо
ймовірність того, що дві партії з чотирьох
будуть виграні:
.
Знайдемо вірогідність того, що буде виграно три партії з шести:
.
Оскільки
,
то ймовірніше виграти дві партії з
чотирьох, чим три з шести.
Відповідь: Ймовірніше виграти дві партії з чотирьох, чим три з шести.
3.
Ймовірність
появи події в кожному з 100 незалежних
випробувань стала і рівна
.
Знайти ймовірність того, що подія
з’явиться не менше 75 раз і не більше 90
разів.
Розв’язання. Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:
,
де
Ф(х)
– функція Лапласа,
,
.
За
умовою, n = 100; р=0,8 ; q=0,2;
k1=75;
k2=90.
Обчислимо
і
:
,
.
Враховуючи,
що функція Лапласа непарна, тобто
,
отримаємо:
.
За таблицею знайдемо:
;
.
Шукана ймовірність
.
Відповідь:
.
.
Варіант №1
1. В піраміді є п’ять гвинтівок, три з яких мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок влучить в ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить в ціль із навмання взятої гвинтівки.
2. Монета підкидається 100 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 40 раз;
б) герб випаде не більш 30 раз.
3. Ймовірність появи події в кожному із 25 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться в більшості випробувань.
Варіант №2
1.В ящику є 12 деталей, виготовлених на першому станку; 20 - на другому; 18 - на третьому. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому станку буде стандартною, дорівнює 0,9, для деталей, виготовлених на другому та третьому станках, ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 120 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 50 раз;
б) герб випаде не більш 40 раз.
3. Ймовірність появи позитивного результату в кожному із п випробувань дорівнює 0,85. Скільки необхідно виконати випробувань, щоб з ймовірністю 0,95 можна було сподіватись, що не менше 135 випробувань дадуть позитивний результат.
Варіант №3
1. В першій урні є 10 куль, з них 8 білих; в другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взяли одну. Знайти ймовірність того, що взята куля виявиться білою.
2. Монета підкидається 90 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 35 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
135 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться не менше 90 раз і не більше 128
раз.
Варіант №4
1. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 110 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 30 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
135 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться: а) не менше 90 раз; б) не більше
89 рази.
Варіант №5
1. В кожній з трьох урн є по 6 чорних та 4 білих куль. Із першої урни навмання взяли одну кулю і переклали її в другу урну, після чого із другої урни навмання взяли одну кулю і переклали в третю. Знайти ймовірність того, що взята навмання куля з третьої урни виявиться білою.
2. Монета підкидається 130 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 40 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3. Ймовірність враження мішені при одному вистрілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 119 вистрілах мішень буде вражена рівно 76 раз.
Варіант №6
1. В піраміді є п’ять гвинтівок, три з яких мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок влучить в ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить в ціль із навмання взятої гвинтівки.
2. Монета підкидається 80 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 60 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 75 раз в 248 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.
Варіант №7
1. В ящику є 12 деталей, виготовлених на першому станку; 20 - на другому; 18 - на третьому. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому станку буде стандартною, дорівнює 0,9, для деталей, виготовлених на другому та третьому станках, ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 100 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 40 раз;
б) герб випаде не більш 35 раз.
3. Ймовірність появи події в кожному із 2500 незалежних випробувань дорівнює 0,65. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться не менше 1625 і не більше 1700 раз.
Варіант №8
1. В першій урні є 10 куль, з них 8 білих; в другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взяли одну. Знайти ймовірність того, що взята куля виявиться білою.
2. Монета підкидається 90 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 50 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3. Ймовірність появи позитивного результату в кожному із п випробувань дорівнює 0,88. Скільки необхідно виконати випробувань, щоб з ймовірністю 0,95 можна було сподіватись, що не менше 145 випробувань дадуть позитивний результат.
Варіант №9
1. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 110 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 60 раз;
б) герб випаде не більш 70 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
135 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться не менше 80 раз і не більше 128
раз.
Варіант №10
1. В кожній з трьох урн є по 6 чорних та 4 білих куль. Із першої урни навмання взяли одну кулю і переклали її в другу урну, після чого із другої урни навмання взяли одну кулю і переклали в третю. Знайти ймовірність того, що взята навмання куля з третьої урни виявиться білою.
2. Монета підкидається 70 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 50 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
135 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться: а) не менше 80 раз; б) не більше
79 рази.
Варіант №11
1. В піраміді є п’ять гвинтівок, три з яких мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок влучить в ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить в ціль із навмання взятої гвинтівки.
2. Монета підкидається 80 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 40 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3. Ймовірність враження мішені при одному вистрілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 148 вистрілах мішень буде вражена рівно 107 раз.
Варіант №12
1. В ящику є 12 деталей, виготовлених на першому станку; 20 - на другому; 18 - на третьому. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому станку буде стандартною, дорівнює 0,9, для деталей, виготовлених на другому та третьому станках, ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 120 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 70 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 60 раз в 157 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,3.
Варіант №13
1. В першій урні є 10 куль, з них 8 білих; в другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взяли одну. Знайти ймовірність того, що взята куля виявиться білою.
2. Монета підкидається 90 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 45 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3. Ймовірність появи події в кожному із 2500 незалежних випробувань дорівнює 0,65. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться: а) не менше 1625; б) не більше 1700 раз.
Варіант №14
1. В кожній з трьох урн є по 6 чорних та 4 білих куль. Із першої урни навмання взяли одну кулю і переклали її в другу урну, після чого із другої урни навмання взяли одну кулю і переклали в третю. Знайти ймовірність того, що взята навмання куля з третьої урни виявиться білою.
2. Монета підкидається 110 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 50 раз;
б) герб випаде не більш 40 раз.
3. Ймовірність появи позитивного результату в кожному із п випробувань дорівнює 0,82. Скільки необхідно виконати випробувань, щоб з ймовірністю 0,9 можна було сподіватись, що не менше 130 випробувань дадуть позитивний результат.
Варіант №15
1. В піраміді є п’ять гвинтівок, три з яких мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок влучить в ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить в ціль із навмання взятої гвинтівки.
2. Монета підкидається 120 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 70 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
100 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться не менше 85 раз і не більше 90
разів.
Варіант №16
1. В ящику є 12 деталей, виготовлених на першому станку; 20 - на другому; 18 - на третьому. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому станку буде стандартною, дорівнює 0,9, для деталей, виготовлених на другому та третьому станках, ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 80 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 40 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
100 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться: а) не менше 85 раз; б) не більше
84 рази.
Варіант №17
1. В першій урні є 10 куль, з них 8 білих; в другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взяли одну. Знайти ймовірність того, що взята куля виявиться білою.
2. Монета підкидається 70 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 30 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3. Ймовірність враження мішені при одному вистрілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 138 вистрілах мішень буде вражена рівно 103 рази.
Варіант №18
1. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 100 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 60 раз;
б) герб випаде не більш 70 раз.
3. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 60 раз в 176 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.
Варіант №19
1. В кожній з трьох урн є по 6 чорних та 4 білих куль. Із першої урни навмання взяли одну кулю і переклали її в другу урну, після чого із другої урни навмання взяли одну кулю і переклали в третю. Знайти ймовірність того, що взята навмання куля з третьої урни виявиться білою.
2. Монета підкидається 110 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 70 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3. Ймовірність появи події в кожному із 21 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться в більшості випробувань.
Варіант №20
1. В піраміді є п’ять гвинтівок, три з яких мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок влучить в ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить в ціль із навмання взятої гвинтівки.
2. Монета підкидається 90 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 40 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3. Ймовірність появи позитивного результату в кожному із п випробувань дорівнює 0,8. Скільки необхідно виконати випробувань, щоб з ймовірністю 0,92 можна було сподіватись, що не менше 165 випробувань дадуть позитивний результат.
Варіант №21
1. В ящику є 12 деталей, виготовлених на першому станку; 20 - на другому; 18 - на третьому. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому станку буде стандартною, дорівнює 0,9, для деталей, виготовлених на другому та третьому станках, ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 100 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 40 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
140 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться не менше 100 раз і не більше 130
разів.
Варіант №22
1. В першій урні є 10 куль, з них 8 білих; в другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взяли одну. Знайти ймовірність того, що взята куля виявиться білою.
2. Монета підкидається 70 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 30 раз;
б) герб випаде не більш 40 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
140 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться: а) не менше 100 раз; б) не більше
99 рази.
Варіант №23
1. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 80 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 20 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 120 пострілах мішень буде вражена рівно 88 раз.
Варіант №24
1. В кожній з трьох урн є по 6 чорних та 4 білих куль. Із першої урни навмання взяли одну кулю і переклали її в другу урну, після чого із другої урни навмання взяли одну кулю і переклали в третю. Знайти ймовірність того, що взята навмання куля з третьої урни виявиться білою.
2. Монета підкидається 120 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 50 раз;
б) герб випаде не більш 70 раз.
3. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 80 раз в 384 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,2.
Варіант №25
1. В піраміді є п’ять гвинтівок, три з яких мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок влучить в ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить в ціль із навмання взятої гвинтівки.
2. Монета підкидається 90 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 20 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3. Ймовірність появи події в кожному із 23 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться в більшості випробувань.
Варіант №26
1. В ящику є 12 деталей, виготовлених на першому станку; 20 - на другому; 18 - на третьому. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому станку буде стандартною, дорівнює 0,9, для деталей, виготовлених на другому та третьому станках, ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 80 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 30 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3. Ймовірність появи позитивного результату в кожному із п випробувань дорівнює 0,9. Скільки необхідно виконати випробувань, щоб з ймовірністю 0,96 можна було сподіватись, що не менше 145 випробувань дадуть позитивний результат.
Варіант №27
1. В першій урні є 10 куль, з них 8 білих; в другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взяли одну. Знайти ймовірність того, що взята куля виявиться білою.
2. Монета підкидається 110 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 40 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
120 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться не менше 85 і не більше 115.
Варіант №28
1. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 100 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 30 раз;
б) герб випаде не більш 60 раз.
3.
Ймовірність появи події в кожному із
120 незалежних випробувань стала і
дорівнює
.
Знайти ймовірність того, що подія
з'явиться: а) не менше 85 раз; б) не більше
84 рази.
Варіант №29
1. В кожній з трьох урн є по 6 чорних та 4 білих куль. Із першої урни навмання взяли одну кулю і переклали її в другу урну, після чого із другої урни навмання взяли одну кулю і переклали в третю. Знайти ймовірність того, що взята навмання куля з третьої урни виявиться білою.
2. Монета підкидається 120 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 30 раз;
б) герб випаде не більш 70 раз.
3. Ймовірність враження мішені при одному вистрілі дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що при 120 вистрілах мішень буде вражена рівно 78 раз.
Варіант №30
1. В ящику є 12 деталей, виготовлених на першому станку; 20 - на другому; 18 - на третьому. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому станку буде стандартною, дорівнює 0,9, для деталей, виготовлених на другому та третьому станках, ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.
2. Монета підкидається 90 раз. Знайти ймовірність того, що при цьому:
а) герб випаде не менш 45 раз;
б) герб випаде не більш 50 раз.
3. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 55 раз в 184 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.