Числові характеристики дискретних випадкових величин
Характеристикою середнього значення випадкової величини є математичне сподівання.
Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків всіх її можливих значень на відповідні ймовірності:
Якщо дискретна випадкова величина набуває нескінченну але зчисленну множину можливих значень, причому математичне сподівання існує, то ряд у правій частині рівності
збігається абсолютно.
87. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:
а) X -4 6 10. р 0,2 0.3 0,5
б) X 0,21 0,54 0,61. р 0,1 0,5 0,4
Розв’язання а) Математичне сподівання дорівнює сумі добутків усіх можливих значень X на їх ймовірності:
М(Х)= -4·0.2 +6 · 0.3 +10 · 0.5 = 6.
88.Знайти математичне сподівання випадкової величини Z, якщо відомі математичні сподівання X і Y: а)Z =Х +2У, М(Х)=5, М(У) = 3; б)Z=3X 4Y,
M(Х)=2,М(У)=6.
89. Дискретна випадкова величина X набуває трьох можливих значень: x1 - 4 з імовірністю p1 = 0,5; х2 = 6 з імовірністю p2 = 0,3 і х3 з ймовірністю p2. Знайти х3 і р3 якщо М (Х) = 8.
90. Даний перелік можливих значень дискретної випадкової величини X: х1 = 1, x2 = 2, x3 =3, а також відомі математичні сподівання цієї величини та її квадрата: M (Х) = 2,3, M (X2) = 5,9. Знайти ймовірності, які відповідають можливим значенням X.
91. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини X - числа таких підкидань п’яти гральних кісток, в кожному з яких на двох кістках з’явиться по одному очку, якщо загальне число підкидань рівне двадцяти.
Розв’язання. Скористаємося формулою M(Х) = np, де n - загальне число випробувань (кидання п’яти кісток); X - число появ події, що цікавить нас (на двох кістках із п’яти з’явиться по одному очку) в n випробуваннях;
р - ймовірність появи розглянутої події в одному випробуванні.
За умовою, n = 20. Залишається знайти P - ймовірність того, що на гранях двох із п’яти кісток з’явиться по одному очку. Цю ймовірність обчислимо за формулою Бернуллі, враховуючи, що ймовірність появи одного очка на грані однієї кістки р = 1 / 6 і, отже, ймовірність не появи q = 1-1/6 = 5 / 6:
Розсіяння значень випадкової величини відносно її середнього значення називается дисперсією.
Дисперсією називається математичне сподівання квадрату відхилення значень випадкової величини відносно її середнього значення:
У випадку дискретної величини
Середнє квадратичним відхиленням називають
92. Випадкові величини X і Y незалежні. Знайти дисперсію випадкової величини
Z =2 Х+ ЗУ, якщо відомо, що D (X) = 4, D (Y) = 5.
93. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини X-числа появ події А в п’яти незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює 0,2.
Розв’язання. Дисперсія числа появ події в незалежних випробуваннях (з однаковою ймовірністю появи події в кожному випробуванні) дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і непояви події:
За умовою, n = 5; р = 0,2; q = 1 - 0,2 = 0,8. Шукана дисперсія
D (X) = npq.
D (Х) = npq = 5·0,2·0,8 = 0,8.
94. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х-числа відмов елемента деякого пристрою в десяти незалежних дослідах, якщо ймовірність відмови елемента в кожному досліді дорівнює 0,9.
95. Проводяться незалежні випробування з однаковою ймовірністю появи події А в кожному випробуванні. Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа появ події в трьох незалежних випробуваннях дорівнює 0,63.
96. Дискретна випадкова величина X набуває тільки двох можливих значень: x1 і x2, причому х1 < х2. Ймовірність того, що X набуде значення x2, дорівнює 0,2. Знайти закон розподілу X, якщо математичне сподівання M (X) = 2.6 і середнє квадратичне відхилення σ(X) = 0.8
97. Дискретна випадкова величина X набуває тільки трьох можливих значень: x1 = 1, х2 і x3 причому x1 <x2<x3. Ймовірність того, що X набуде значення x1 і x2 відповідно рівні 0,3 и 0,2. Знайти закон розподілення величини X, якщо її математичне сподівання M(Х) = 2,2 і дисперсія D(X)=0.76