Завдання для аудиторної контрольної роботи з модуля «Випадкові події та випадкові величини»

Варіант №0

1. Заданий закон розподілу:

X	4,3	5,1	10,6
P	0,2	0,3	0,5

Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини.

Розв’язання. Знайдемо числові характеристики дискретної випадкової величини за формулами:

Математичне сподівання:

,

.

Дисперсія:

,

.

Середнє квадратичне відхилення:

,

.

Відповідь: , , .

2. Задана функція розподілу неперервної випадкової величини X:

.

Знайти густину розподілу f(x) та математичне сподівання.

Розв’язання. Густина розподілу дорівнює першій похідній від функції розподілу:

.

Відмітимо, що при похідна не існує.

Зайдемо тепер математичне сподівання:

.

Відповідь: ,

3. Ціна поділки шкали амперметра рівна 0,1 А. Покази амперметра заокруглюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблена помилка, що перевищує 0,02 А.

Розв’язання: Похибку округлення відліку можна розглядати як випадкову величину X, яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми цілими поділками. Густина рівномірного розподілу , де- довжина інтервалу, у якому розміщені можливі значення X; зовні цього інтервалу. У даному завданні довжина інтервалу, у якому розміщені можливі значення X, рівна 0,1, тому .

Легко бачити, що помилка відліку перевищить 0,02, якщо вона буде міститися в інтервалі (0,02; 0,08).

За формулою отримаємо:

.

Відповідь: .

Варіант №1

1. Станок-автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,015. Знайти ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться рівно 5 бракованих.

2. Задана щільність розподілу

.

Знайти коефіцієнт , інтегральну функцію F(х), математичне сподівання М(х), дисперсію D(x) та ймовірність попадання величини x в інтервал (-1, 1).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 200 кг і середнім квадратичним відхиленням 3 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 190 до 208 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №2

1. Завод відправив до точок - реалізаторів 800 високоякісних люстр. Ймовірність того, що люстра поб'ється по дорозі становить 0,15. Знайти ймовірність того, що в дорозі поб'ється рівно 6 люстр.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти щільність розподілу ймовірностей, коефіцієнт к, математичне сподівання, дисперсію та ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (4, 8).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 400 кг і середнім квадратичним відхиленням 8 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 390 до 420 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 10 кг.

Варіант №3

1. Підручник виданий тиражем 60500 примірників. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно 3 браковані книги.

2. Задана функція:

.

Знайти F(х), М(х), D(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 600 кг і середнім квадратичним відхиленням 10 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 580 до 615 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №4

1. У партії з 8 деталей є 3 нестандартні. Навмання відбираються 2 деталі. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини X - числа нестандартних деталей серед 2 відібраних.

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти а, F(х), М(х), D(x).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 800 кг і середнім квадратичним відхиленням 15 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 770 до 820 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №5

1. Ймовірність виграшу по одному лотерейному білету . Скільки необхідно купити білетів, аби виграти хоча б по одному з них з ймовірністю Р, не меншою, ніж 0,95?

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти F(х), М(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 1000 кг і середнім квадратичним відхиленням 20 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 950 до 1030 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №6

1. Вздовж шосе було висаджено 50 000 саджанців. Ймовірність того, що саджанець не прийметься становить 0,002. Знайти ймовірність того, що загине 18 саджанців.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію.

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 200 кг і середнім квадратичним відхиленням 4 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 195 до 210 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №7

1. Побудувати розподіл ймовірностей для кратної випадкової величини при шестиразовому підкиданні монети. Випадкова змінна X дорівнює кількості «решок», які впали. Обчислити числові характеристики величини X.

2. Випадкова величина X задана функцією розподілу:

Знайти щільність розподілу та ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, що міститься в інтервалі (-1;1).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 400 кг і середнім квадратичним відхиленням 6 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 390 до 415 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №8

1. Виконуються три незалежні досліди, в кожному з яких подія А з'являється з ймовірністю 0,4. Випадкова величина X - число появ подій А в трьох дослідах. Побудувати ймовірнісний розподіл і обчислити числові характеристики.

2. Задана щільність розподілу неперервної випадкової величини:

.

Знайти функцію розподілу та математичне сподівання.

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 600 кг і середнім квадратичним відхиленням 8 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись межах від 575 до 620 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 10 кг.

Варіант №9

1. Побудувати розподіл ймовірностей експерименту з підкидання двох гральних кісток разом один раз. Випадкова змінна X дорівнює сумі очок, що з'являються. Обчислити числові характеристики величини X.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти a, щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію та ймовірність того, що величина X набуде значення меншого, ніж .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 800 кг і середнім квадратичним відхиленням 12 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 780 до 825 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №10

1. В партії 10% нестандартних деталей. Випадково відібрані чотири деталі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа нестандартних деталей серед чотирьох відібраних.

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти М(х), D(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 1000 кг і середнім квадратичним відхилення 25 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 960 до 1050 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 20 кг.

Варіант №11

1. Станок-автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,015. Знайти ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться рівно 5 бракованих.

2. Задана щільність розподілу

.

Знайти коефіцієнт , інтегральну функцію F(х), математичне сподівання М(х), дисперсію D(x) та ймовірність попадання величини x в інтервал (-1, 1).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 200 кг і середнім квадратичним відхиленням 3 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 190 до 208 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №12

1. Завод відправив до точок - реалізаторів 800 високоякісних люстр. Ймовірність того, що люстра поб'ється по дорозі становить 0,15. Знайти ймовірність того, що в дорозі поб'ється рівно 6 люстр.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти щільність розподілу ймовірностей, коефіцієнт к, математичне сподівання, дисперсію та ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (4, 8).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 400 кг і середнім квадратичним відхиленням 8 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 390 до 420 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 10 кг.

Варіант №13

1. Підручник виданий тиражем 60500 примірників. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно 3 браковані книги.

2. Задана функція:

.

Знайти F(х), М(х), D(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 600 кг і середнім квадратичним відхиленням 10 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 580 до 615 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №14

1. У партії з 8 деталей є 3 нестандартні. Навмання відбираються 2 деталі. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини X - числа нестандартних деталей серед 2 відібраних.

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти а, F(х), М(х), D(x).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 800 кг і середнім квадратичним відхиленням 15 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 770 до 820 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №15

1. Ймовірність виграшу по одному лотерейному білету . Скільки необхідно купити білетів, аби виграти хоча б по одному з них з ймовірністю Р, не меншою, ніж 0,95?

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти F(х), М(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 1000 кг і середнім квадратичним відхиленням 20 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 950 до 1030 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №16

1. Вздовж шосе було висаджено 50 000 саджанців. Ймовірність того, що саджанець не прийметься становить 0,002. Знайти ймовірність того, що загине 18 саджанців.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію.

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 200 кг і середнім квадратичним відхиленням 4 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 195 до 210 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №17

1. Побудувати розподіл ймовірностей для кратної випадкової величини при шестиразовому підкиданні монети. Випадкова змінна X дорівнює кількості «решок», які впали. Обчислити числові характеристики величини X.

2. Випадкова величина X задана функцією розподілу:

Знайти щільність розподілу та ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, що міститься в інтервалі (-1;1).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 400 кг і середнім квадратичним відхиленням 6 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 390 до 415 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №18

1. Виконуються три незалежні досліди, в кожному з яких подія А з'являється з ймовірністю 0,4. Випадкова величина X - число появ подій А в трьох дослідах. Побудувати ймовірнісний розподіл і обчислити числові характеристики.

2. Задана щільність розподілу неперервної випадкової величини:

.

Знайти функцію розподілу та математичне сподівання.

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 600 кг і середнім квадратичним відхиленням 8 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись межах від 575 до 620 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 10 кг.

Варіант №19

1. Побудувати розподіл ймовірностей експерименту з підкидання двох гральних кісток разом один раз. Випадкова змінна X дорівнює сумі очок, що з'являються. Обчислити числові характеристики величини X.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти a, щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію та ймовірність того, що величина X набуде значення меншого, ніж .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 800 кг і середнім квадратичним відхиленням 12 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 780 до 825 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №20

1. В партії 10% нестандартних деталей. Випадково відібрані чотири деталі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа нестандартних деталей серед чотирьох відібраних.

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти М(х), D(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 1000 кг і середнім квадратичним відхилення 25 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 960 до 1050 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 20 кг.

Варіант №21

1. Станок-автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,015. Знайти ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться рівно 5 бракованих.

2. Задана щільність розподілу

.

Знайти коефіцієнт , інтегральну функцію F(х), математичне сподівання М(х), дисперсію D(x) та ймовірність попадання величини x в інтервал (-1, 1).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 200 кг і середнім квадратичним відхиленням 3 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 190 до 208 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №22

1. Завод відправив до точок - реалізаторів 800 високоякісних люстр. Ймовірність того, що люстра поб'ється по дорозі становить 0,15. Знайти ймовірність того, що в дорозі поб'ється рівно 6 люстр.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти щільність розподілу ймовірностей, коефіцієнт к, математичне сподівання, дисперсію та ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (4, 8).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 400 кг і середнім квадратичним відхиленням 8 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 390 до 420 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 10 кг.

Варіант №23

1. Підручник виданий тиражем 60500 примірників. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно 3 браковані книги.

2. Задана функція:

.

Знайти F(х), М(х), D(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 600 кг і середнім квадратичним відхиленням 10 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 580 до 615 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №24

1. У партії з 8 деталей є 3 нестандартні. Навмання відбираються 2 деталі. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини X - числа нестандартних деталей серед 2 відібраних.

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти а, F(х), М(х), D(x).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 800 кг і середнім квадратичним відхиленням 15 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 770 до 820 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №25

1. Ймовірність виграшу по одному лотерейному білету . Скільки необхідно купити білетів, аби виграти хоча б по одному з них з ймовірністю Р, не меншою, ніж 0,95?

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти F(х), М(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 1000 кг і середнім квадратичним відхиленням 20 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 950 до 1030 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №26

1. Вздовж шосе було висаджено 50 000 саджанців. Ймовірність того, що саджанець не прийметься становить 0,002. Знайти ймовірність того, що загине 18 саджанців.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію.

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 200 кг і середнім квадратичним відхиленням 4 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 195 до 210 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №27

1. Побудувати розподіл ймовірностей для кратної випадкової величини при шестиразовому підкиданні монети. Випадкова змінна X дорівнює кількості «решок», які впали. Обчислити числові характеристики величини X.

2. Випадкова величина X задана функцією розподілу:

Знайти щільність розподілу та ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, що міститься в інтервалі (-1;1).

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 400 кг і середнім квадратичним відхиленням 6 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 390 до 415 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 5 кг.

Варіант №28

1. Виконуються три незалежні досліди, в кожному з яких подія А з'являється з ймовірністю 0,4. Випадкова величина X - число появ подій А в трьох дослідах. Побудувати ймовірнісний розподіл і обчислити числові характеристики.

2. Задана щільність розподілу неперервної випадкової величини:

.

Знайти функцію розподілу та математичне сподівання.

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 600 кг і середнім квадратичним відхиленням 8 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись межах від 575 до 620 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 10 кг.

Варіант №29

1. Побудувати розподіл ймовірностей експерименту з підкидання двох гральних кісток разом один раз. Випадкова змінна X дорівнює сумі очок, що з'являються. Обчислити числові характеристики величини X.

2. Задана інтегральна функція розподілу:

.

Знайти a, щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію та ймовірність того, що величина X набуде значення меншого, ніж .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 800 кг і середнім квадратичним відхиленням 12 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 780 до 825 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 15 кг.

Варіант №30

1. В партії 10% нестандартних деталей. Випадково відібрані чотири деталі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа нестандартних деталей серед чотирьох відібраних.

2. Задана щільність розподілу:

.

Знайти М(х), D(х), .

3. Завод залізобетонних виробів виготовляє будівельні блоки. Можна вважати, що маса блока є нормально розподілена випадкова величина X з математичним сподіванням (проектною масою) 1000 кг і середнім квадратичним відхилення 25 кг. Знайти ймовірність того, що маса навмання взятого блока буде: а) знаходитись в межах від 960 до 1050 кг; б) відхилятись від проектної маси по модулю менше, ніж на 20 кг.