Метод добутків обчислення вибіркових середньої та дисперсії

Рівновіддалені варіанти. Нехай вибірка задана в вигляді розподілу рівновіддалених варіантів і відповідних їм частот. В цьому випадку зручно знаходити вибіркові середню та дисперсію методом добутків за формулами ₌M₁^*h+C, D_в = х[M₂^*-(M₁^*)²]h², де h - крок (різниця між двома сусідніми варіантами); С- хибний нуль (варіанта, яка розташована приблизно в середині варіаційного ряду); u_i = (x_i-C)/h - умовна варіанта; M₁^* = (Ʃn_iu_i )/n - умовний момент першого порядку; M₂^* = (Ʃn_iu_i² )/n - умовний момент другого порядку.

211. Знайти методом добутків вибіркову середню і вибіркову дисперсію за задани розподілом вибірки об'єму n=100:

варіанта x_i 12 14 16 18 20 22

частота п_i 5 15 50 16 10 4

212. Знайти методом добутків вибіркову дисперсію за задани розподілом вибірки :

а) варіанта х_i 18,6 19,0 19,4 19,8 20,2 20,6

частота n_i 4 6 30 40 18 2

б) варіанта х_i 65 70 75 80 85

частота n_i 2 5 25 15 3

Нерівновіддалені варіанти. Якщо вихідні варіанти не є рівновіддаленими, то інтервал, в якому розміщені всі варіанти вибірки, ділять на декілька рівної довжини h , часткових інтервалів (кожен частковий інтервал повинен містити не менше 8-10 варіант). Потім знаходять середини часткових інтервалів, які і утворюють послідовність рівновіддалених варіант. За частоту кожної середини інтервала приймають суму частот варіант, які потрапили у відповідний частковий інтервал. При обчисленні вибіркової дисперсії для зменшення помилки викликаної угрупуванням (особливо при малій кількості інтервалів) роблять поправку Шеппарда, а саме віднімають з обчисленої дисперсії 1/12 квадрата довжини часткового інтервалу.

Таким чином, з урахуванням поправки Шеппарда дисперсію обчислюють за формулою D_в = D_в – (1/12)h²

213. Знайти методом добутків вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму п = 100:

2 3 7 9 11 12.5 16 18 23 25 26

3 5 10 6 10 4 12 13 8 20 9

214. При обчисленні дисперсії розподілу не рівновіддалених варіант вибірка була розбита на п'ять інтервалів довжиною h = 12. Вибіркова дисперсія рівновіддалених варіант (середин часткових інтервалів) D_в = =52,4. Знайти вибіркову дисперсію, враховуючи поправку Шеппарда.

215. а) Знайти методом добутків вибіркову середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом не рівновіддалених варіант вибірки об'єму

n=100:

x_i 10 13 15 17 19 23 24 26 28 32 34 35

n_i 2 4 6 8 9 6 20 15 10 8 7 5

б) знайти вибіркову дисперсію з урахуванням поправки Шеппарда.

Лінійна кореляція

Якщо обидві лінії регресії Y на X і X на Y – прямі , то кореляцію називають лінійною.

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на X має вигляд

Де - умовна середня ;- iвибіркові середніх ознак X і Y; і - вибіркові середні квадратичні відхилення; – вибірковий коефіцієнт кореляцій, причому =

Якщо дані спостережень над ознаками X і Y задані у вигляді кореляційної таблиці з рівновіддаленими варіантами, то доцільно перейти до умовних варіант: u_i = (x_i – c₁)/h₁, v_j = (y_j – c₂)/h₂, де C₁- хибний нуль варіант X (новий початок відліку); у якості хибного нуля вигідно прийняти варіанту, яка розташована приблизно в середині варіаційного ряду; h₁ - крок, тобто різниця між двома сусідніми варіантами ; С₂ – хибний нуль варіант ; h₂ – крок варіант .

В цьому випадку вибірковий коефіцієнт кореляції =, величиниможуть бути знайдені безпосередньо за формулами:

Для оцінки сили лінійного кореляційного зв'язку служить вибірковий коефіцієнт кореляції.

216. Знайти вибіркові рівняння прямих ліній регресії У на Х і Х на У за даними, що наведені у наступних кореляційних таблицях:

а)

У	Х
	5	10	15	20	25	30	35	40	пу
100	2	1	-	-	-	-	-	-	3
120	3	4	3	-	-	-	-	-	10
140	-	-	5	10	8	-	-	-	23
160	-	-	-	1	-	6	1	1	9
180	-	-	-	-	-	-	4	1	5
пх	5	5	8	11	8	6	5	2	п=50

б)

У	Х
	18	23	28	33	38	43	48	пу
125	-	1	-	-	-	-	-	1
150	1	2	5	-	-	-	-	8
175	-	3	2	12	-	-	-	17
200	-	-	1	8	7	-	-	16
225	-	-	-	-	3	3	-	6
250	-	-	-	-	-	1	1	2
пх	1	6	8	20	10	4	1	п=50

в)

У	Х
	5	10	15	20	25	30	35	пу
100	-	-	-	-	-	6	1	7
120	-	-	-	-	-	4	2	6
140	-	-	8	10	5	-	-	23
160	3	4	3	-	-	-	-	10
180	2	1	-	1	-	-	-	4
пх	5	5	11	11	5	10	3	п=50