4.2.5. Шаровые и сферические функции

Шаровыми функциями называются решения дифференциального уравнения

, (20)

называемого уравнением Лежандра. Здесь , и могут принимать любые значения. Частными видами шаровых функций являются функции Лежандра первого рода и функции Лежандра второго рода . Эти функции при определяются выражениями:

,

,

где

или в виде интеграла

.

Здесь – гипергеометрическая функция.

При уравнение (20) принимает вид

.

Рис. 4.8

Решения этого уравнения

(21)

называются полиномами Лежандра. Формула (21) называется формулой Родрига. С помощью формулы (21) получаем

,

На рис.4.8 представлены графики полиномов Лежандра (цифры соответствуют порядку полинома).

Полиномы Лежандра в пространстве ортогональны с весом :

.

При решениями уравнения (20) будут присоединённые функции Лежандра первого рода

Функции Лежандра в пространстве ортогональны с весом , то есть

.

Решения дифференциального уравнения

,

получаемого при решении уравнения Лапласа по методу Фурье в сферических координатах, называются сферическими функциями и определяются формулой

.

Здесь.

Сферические функции в пространстве ортогональны с весом , то есть

.

4.2.6. Схема метода Фурье

Сущность метода разделения переменных заключается в следующем. Неизвестная функция , зависящая от и , заменяется произведением функций, каждая из которых зависит только от и только от

.

Это позволяет уравнение с частными производными разделить на несколько дифференциальных уравнений, некоторые из которых вместе с граничными условиями образуют краевую задачу на собственные значения для оператора Лапласа (или какого-либо другого дифференциального оператора)

, , (22)

, (23)

, , +> 0, .

Значения параметра , при которых уравнение (22) имеет ненулевые решения, называются собственными значениями оператора , а соответствующие им решения задачи (22) – (23) называются собственными функциями оператора .

Краевая задача на собственные значения (22) – (23) при называется задачей Штурма - Лиувилля. Собственные функции и собственные значения задачи Штурма - Лиувилля обладают следующими свойствами:

1. Существует счётное множество собственных значений

которым соответствуют собственные функции

2. Собственные функции в области , отвечающие различным собственным значениям , ортогональны с весом

.

После того как будет решена краевая задача (22) − (23), то есть будут найдены собственные значения и собственные функции этой задачи, искомое решение исходной краевой задачи представляется в виде рядя Фурье по собственным функциям

.

Неизвестные коэффициенты находят с помощью начальных или граничных условий краевой задачи.

Если полученный ряд допускает почленное дифференцирование по переменным и два раза, то есть ряд после двукратного дифференцирования по переменным и сходится в области равномерно, то этот ряд будет решением краевой задачи в области . В тех случаях, когда указанные условия не выполняются, можно ограничиться условием сходимости в среднем. Если же не удаётся установить выполнение ни одного из указанных условий, то будем считать полученное решение формальным. Более детальное изложение метода Фурье рассмотрим на примере решения конкретных краевых задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа.