Пример 13. Найдите решение краевой задачи для уравнения Лапласа в круге (задание 11)

.

№
1	2	1	0	2+
2	3	0	1
3	1	2	1

Решение. Уравнение Лапласа и граничное условие запишем в полярных координатах (:

. (1)

.

Решение ищем в виде

. (2)

После подстановки (2) в (1) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения

, (3)

. (4)

Решение должно быть непрерывным. Это значит, что . Поэтому и. Исходя из этого условия и из (4), находим(k – целое число) и

.

Уравнение (3) есть уравнение Эйлера. Его решение ищем в виде . Тогда с помощью (3) получаем,(k > 0) и, таким образом, . Еслиk = 0 , то из (3) находим. Так как решение должно быть конечным, то необходимо положить, иначеипри. Решение задачи (1) представим в виде ряда Фурье

, (5)

,

(6)

.

Если функция периодическая с периодом имеет непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную и , то ряд (5) после двукратного дифференцирования по переменным ибудетсходиться при равномерно. Поэтомувыражение (5) будет являться решением задачи (1).

Рассмотрим теперь различные варианты предложенной задачи.

Вариант первый

№
1	2	1	0	2+

Это краевая задача первого рода (задача Дирихле) для уравнения Лапласа в круге

.

.

По формулам (6) находим

,

,

.

Подставляем значения коэффициентов в формулу (5) и получаем искомое решение

.

Вариант второй

№
2	3	0	1

Это краевая задача второго рода (задача Неймана) для уравнения Лапласа в круге

.

, ,

где

По формулам (6) находим

,

При вычислении коэффициентов использовалось свойство интеграла от периодической функции

,

а также свойство интеграла от чётной или нечётной функций

Подставляем найденные коэффициенты в формулу (5) и получаем искомое решение

…

Вариант третий

№
3	1	2	1

Это краевая задача третьего рода для уравнения Лапласа в круге

,

, ,

где

Вычисляем коэффициенты

,

,

=

.

Подставляем коэффициенты в формулу (5) и получаем искомое решение

Пример 14. Найдите решение краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике (задание 10)

(1)

(2)

. (3)

№
1					0			0
2		0										0
3
№
1	0	1	0	2	1	0	1		0	0	1		0	1
2	0	2	−2	0	1	0	1		0	0	1		0	1
3	−1	1	0	3	0	1	0		1	1	0		1	0

Решение задачи представим в виде

,

где является решением краевой задачи

(4)

(5)

, (6)

а − краевой задачи

(7)

(8)

. (9)

С помощью замены

(10)

уравнение (4) сводится к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

, (11)

, . (12)

Задача (12) − задача Штурма - Лиувилля (см. пример 10) с характеристическим уравнением

(13)

и собственными функциями

или

,

где − корни уравнения (13). Уравнение (11) приимеет общее решение

. (14)

Решение задачи (4) – (6) представим в виде ряда

. (15)

С помощью граничных условий (5) находим коэффициенты

,

где

, (16)

. (17)

Подставляем найденные значения постоянных и в (15) и после элементарных преобразований получаем решение задачи (4) − (6)

,

где

(18)

(19)

Аналогично находим решение краевой задачи (7) − (9)

,

где

(20)

(21)

. (22)

. (23)

Решение задачи (1) − (3) получаем в виде

. (24)

Рассмотрим заданные варианты задачи.