Пример 17. Найдите решение краевой задачи для уравнения Пуассона в кольце (задание 14)

, (1)

, (2)

, (3)

№
1
2
3

Решение краевой задачи для уравнения Пуассона нужно искать в виде

, (4)

где − решение краевой задачи для уравнения Лапласа

(5)

(6)

а − решение краевой задачи для уравнения Пуассона

, (7)

. (8)

Рассмотрим предложенные варианты задачи.

Вариант первый

№
1

Задача (5) − (6) в данном случае будет краевой задачей третьего рода для уравнения Лапласа

,

В полярных координатах () задача примет вид

(9)

(10)

(11)

Решение будем искать в виде

(12)

Подставим выражение (12) в уравнение (9)

Умножим обе части равенства наи получим

или

Из последнего соотношения для нахождения функций иприходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

(13)

. (14)

Общее решение уравнения (13) имеет вид

.

Из очевидного равенства следует, что. Значит,и

.

Уравнение (14) есть уравнение Эйлера. Его решения следует искать в виде

. (15)

Подставим выражение (15) и в уравнение (14)

,

откуда

или

,.

Значит, решение уравнения (6) будет равно

При непосредственным интегрированием уравнения (14) получаем

.

Подставим найденные значения ив (12)

,

Наконец, решение уравнения (9) ищем в виде

. (16)

Неизвестные коэффициенты находим с помощью граничных условий

, (17)

. (18)

Из выражений (17) и (18) получаем систему

,

решая которую, находим ,,,. Остальные коэффициенты равны нулю. Подставляем найденные значения коэффициентов в выражение (16)

. (19)

Задача (7) − (8) является краевой задачей третьего рода для уравнения Пуассона

В полярных координатах задача примет вид

(20)

(21)

Решение будем искать в виде

(22)

Подставим выражение (22) в уравнение (20)

(23)

Очевидно, С учётом этого уравнение (23) примет вид

. (24)

Решение этого уравнения представим в виде

(25)

где − общее решение однородного уравнения

(26)

а − какое-либо частное решение неоднородного уравнения

(27)

Уравнение (22) есть уравнение Эйлера. Его решение имеет вид

С учётом этого получаем

откуда находим . Итак, общее решение уравнения (26) будет иметь вид

Какое-либо частное решение уравнения (27) можно найти с помощью метода вариации постоянных. Приводим окончательный результат

Подставляем найденные значения ив формулу (25)

Возвращаясь к выражению (22), имеем

.

Значения постоянных инайдём с помощью граничных условий (21)

откуда имеем и

. (28)

Искомое решение задачи (1) − (3) получим после подстановки выражений (19) и (28) в формулу (4)

.

Вариант второй

№

Задача (5) − (6) (задача Дирихле для уравнения Лапласа) в полярных координатах примет вид

(29)

,.

Решение будем искать по формуле (12). Повторяя процедуру вычислений, выполненных в предыдущем варианте, находим общее решение уравнения (29), совпадающее с выражением (16). Граничные условия для решения (16)

приводят к системе

,

решая которую, находимОстальные

коэффициенты равны нулю. Подставляем найденные значения коэффициентов в выражение (16)

. (30)

Задача (7) − (8) является задачей Дирихле для уравнения Пуассона. В полярных координатах она примет вид

Дальнейшие вычисления такие же, как и при решении задачи (20) − (21). Поэтому приводим окончательный результат

. (31)

Решение задачи (1) − (3) получим после подстановки выражений (30) и (31) в формулу (4)

.

Вариант третий

№

Задача (5) − (6) (задача Неймана для уравнения Лапласа) в полярных координатах примет вид

(32)

,.

Находим общее решение уравнения (32), совпадающее с выражением (16) (см. вариант №1). Подставляем найденное решение в граничные условия

.

и составляем систему

,

решая которую, находим

Остальные коэффициенты равны нулю. Подставляем найденные значения коэффициентов в выражение (16)

. (33)

Задача (7) − (8) является задачей Неймана для уравнения Пуассона. В полярных координатах она примет вид

Дальнейшие вычисления такие же, как и при решении задачи (20) − (21). Поэтому приводим окончательный результат

. (34)

Решение задачи (1) − (3) получим после подстановки выражений (33) и (34) в формулу (4)

.