Пример 18. Найдите решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца в круге (задание 15)

(1)

(2)

№

Решение. Преобразуем задачу в полярные координаты

(3)

. (4)

Решение уравнения (3) будем искать в виде

. (5)

Подставляем (5) в (3). В результате получим

или

Левая часть этого равенства не зависит от переменной, а правая – от переменной . Значит выражения, стоящие в левой и правой части равенства, не зависят ни от , ни от , а равны некоторой постоянной величине. Обозначим эту постоянную через. В таком случае получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения

(6)

(7)

Общее решение уравнения (7) имеет вид

.

Из условия непрерывности решения следует, что . Поэтомуи

.

Для найденных значений уравнение (6) примет вид

.

Это уравнение Бесселя (см. п. 4.2.2.). Его общее решение имеет вид

где − функция Бесселя,− функция Неймана. Из условия непрерывности решения следует положить, т.к.

при . Решение задачи (1) – (2) представим в виде ряда Фурье

. (8)

Подставляем выражение (8) в граничное условие (4)

откуда получаем

(9)

(10)

. (11)

Теперь рассмотрим конкретные варианты, заданные в условии задачи.

Вариант первый

№

Задача (1) − (2) в данном варианте будет задачей Дирихле

,

.

Решение этой задачи определяется выражением (8). Вычисляем с помощью формул (9) − (11) коэффициенты и, входящие в это выражение,

,

.

Подставляем найденные значения коэффициентов в выражение (8) и получаем решение задачи Дирихле

.

Вариант второй

№

В данном варианте имеем задачу Неймана

,

,

Вычисляем с помощью формул (9) − (11) коэффициенты и

,

.

Подставляем найденные значения коэффициентов в выражение (8) и получаем

Вариант третий

№

Имеем краевую задачу третьего рода

. (13)

. (14)

Вычисляем с помощью формул (9) − (11) коэффициенты и

,

Подставляем найденные значения коэффициентов в выражение (8) и получаем искомое решение

Пример 19. Найдите решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца в шаре (задание 16)

(1)

. (2)

№
1	1	2	1	0
2	9	3	0	1
3	4	1	2	1

Решение. Схема решения этой задачи такая же, как и для уравнения Лапласа в шаре (см. пример 15). Уравнение (1) и граничное условие (2) преобразуем в сферические координаты

. (3)

. (4)

С помощью подстановки

, (5)

уравнение (3) разделяется на три обыкновенных уравнения

, (6)

, (7)

, (8)

. (9)

Требование непрерывности решения уравнения (8) приводит к условию , а ограниченности решения уравнения (9) − к условию. В этом случае уравнение (6) принимает вид

и является уравнением Бесселя (см. п. 4.2.4.) с общим решением

,

где − сферические функции Бесселя и Неймана. Так как при, то следует положить.

Решение задачи (3) − (4) представим в виде ряда Фурье по сферическим функциям

(10)

, (11)

, (12)

, (13)

.

Если функция и к тому же имеет непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную, то при ряд (10) можно почленно дифференцировать дважды и, следовательно, выражение (10) будет являться решением задачи (1) − (2).

Рассмотрим конкретные варианты задачи (1) − (2).

Вариант первый

№
1	1	2	1	0

Это первая краевая задача для уравнения Гельмольца в шаре

.

С помощью формул (11) − (12) находим

,

,

, ,

,

, ,,

.

Подставляем значения коэффициентов в формулу (10)

.

Вариант второй

№
2	9	3	0	1

Данный вариант представляет собой вторую краевую задачу для уравнения Гельмольца в шаре

.

С помощью формул (11) − (12) находим

,

,

, ,,

.

Подставляем значения коэффициентов в формулу (10)

.

Вариант третий

№
3	4	1	2	1

Данный вариант представляет собой краевую задачу третьего рода для уравнения Гельмгольца в шаре

.

С помощью формул (11) − (13) находим

,

,

, ,

,

, .

Подставляем значения коэффициентов в формулу (10)

.

Пример 20. Найдите решение смешанной задачи для однородного волнового уравнения в области

(1)

, , (2)

, (3)

где , ,

Решение. Положим . Тогда уравнение (1) примет вид

или

(4)

Левая часть равенства (4) не зависит от, а правая– от . Значит, каждая из них является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную через (). Тогда (39) распадается на два уравнения

(5)

(6)

Решение уравнения (5) должно удовлетворять граничному условию (3), которое в данном случае примет вид

(7)

Краевая задача (5), (7) представляет собой краевую задачу на собственные значения оператора . Если и являютсясобственными значениями и собственными функциями этой задачи, то при получим общее решение уравнения (6)

где и – произвольные постоянные.

Решение задачи (1) – (3) имеет вид

, (8)

, . (9)