Вариант третий

№
3	1	2	1

Данный вариант задачи (1) − (2) представляет собой краевую задачу третьего рода для уравнения Лапласа в шаре

,

.

Решение задачи находим по формулам (13) − (17)

,

,

,

,

,

,

.

Пример 16. Найдите решение краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндре (задание 13)

, (1)

, , (2)

(3)

№
1	2	3		1	0	1	0	1	0
2	4	5		0	1	1	0	0	1
3	3	4		2	1	1	1	1	1

Решение. Данные задачи зависят от . Поэтомууравнение преобразуем в цилиндрические координаты , . В этом случае решениене будет зависеть оти задача принимает вид

, (4)

, (5)

(6)

Решение будем искать в виде , что приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

(7)

Краевая задача (8) есть задача Штурма – Лиувилля (см. пример 10). Характеристическое уравнение задачи

, (9)

решения задачи (собственные функции)

или

,

где − корни уравнения (9).

Выражение (7) представляет собой уравнение Бесселя (см. п. 4.2.3)

Для его общее решение имеет вид

.

Здесь и– функции Бесселя мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя).Так как решение должно быть конечным, то необходимо положить иначепри.

Решение задачи (4) – (6) представим в виде ряда Фурье

. (10)

Коэффициенты найдём с помощью граничного условия (5)

,

откуда

. (11)

Дальнейшие выкладки будут выполнены для конкретных данных рассматриваемой задачи.

Вариант первый

№
1	2	3		1	0	1	0	1	0

Задача Штурма - Лиувилля (8)

собственные значения и собственные функции

С помощью выражения (10) находим коэффициенты

.

Подставляем найденные значения коэффициентов в формулу (10)

…

Вариант второй

№
2	4	5		0	1	1	0	0	1

Составляем задачу Штурма – Лиувилля

.

Находим собственные значения и собственные функции

коэффициенты

.

Подставляем найденные значения коэффициентов в (10)

…

Вариант третий

№
3	3	4		2	1	1	1	1	1

Задача Штурма - Лиувилля

Характеристическое уравнение

.

Первые пять корней характеристического уравнения приведены в следующей таблице.

	1	2	3	4	5
	0,2899	1,3098	3,319	6,4694	10,8186

Собственные функции

.

Коэффициенты

.

Значения коэффициентов приведены в следующей таблице.

	1	2	3	4	5

Подставляем найденные значения коэффициентов в (10) и получаем искомое решение

=

…