Пример 23. Найдите решение смешанной задачи для однородного волнового уравнения в круге (см. Задание 19)

(1)

, , (2)

. (3)

№
1	16	4	0		0	1
2	1	2		0	1	0
3	4	2	0		2	1

Решение. Задачу удобнее рассматривать в полярных координатах ( ), так как начальные и граничные условия не зависят от и поэтому решение задачи тоже не будет зависеть от

, (4)

, (5)

. (6)

Решение задачи ищем c помощью метода Фурье в виде что приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

, , (7)

. (8)

Задача (7) представляет собой краевую задачу для уравнения Лапласа в круге (см. пример 11). Собственные функции задачи

,

,

где − корни характеристического уравнениия

.

Первые пять корней уравнения для заданных значений приведены в следующей таблице

№
1	0	1	4	0,9176	3,0762	6,4687	11,095	16,9551
2	1	0	2	1,4458	7,6178	18,7218	34,7601	55,7331
3	2	1	2	0,9102	5,2942	14,1379	27,785	46,3249

Учитывая найденные собственные значения , получимобщее решение уравнения (8)

Решение задачи (4) – (6) представим в виде

, (9)

, (10)

. (11)

Рассмотрим конкретные варианты, предложенные в условии задачи.

Вариант первый

№
1	16	4	0		0	1

Это смешанная задача второго рода

,

,

.

Находим коэффициенты , , для чего подставляем функции и в выражения (10) и (11)

,

. (12)

Интеграл в выражении (12) вычислен с помощью формулы 6.567.1. из [6]

.

Подставляем полученные величины в формулу (6)

…

Вариант второй

№
2	1	2		0	1	0

Это первая смешанная задача

,

,

.

Находим коэффициенты ряда (9)

.

.

Подставляем полученные выражения в формулу (6)

…

Вариант третий

№
3	4	2	0		2	1

Это смешанная задача третьего рода

,

,

.

Находим коэффициенты

,

.

Подставляем найденные величины в формулу (6) и получаем искомое решение

…

Пример 24. Найдите решение смешанной задачи для однородного волнового уравнения в шаре (задание 20)

(1)

, , (2)

. (3)

№
1	1	2		0	1	0
2	4	3	0		0	1
3	9	4			1	2

Решение. Уравнение (1), начальные условия (2) и граничное условие (3) преобразуем в сферические координаты ( ,). Начальные и граничные условия не зависят от и, поэтому задача будет иметь вид

. (4)

, (5)

. (6)

Решение ищем c помощью метода Фурье в виде , что приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

, (7)

. (8)

Уравнение (7) является уравнением Бесселя (см. п. 4.2.4.) с общим решением

,

где − сферические функции Бесселя и Неймана. Так как при , то следует положить .

Искомое решение приобретает вид

.

Для нахождения собственных значений , воспользуемся граничным условиемВ результате получаем характеристическое уравнение:

,

первые пять корней которого для заданных в условии задачи значений приведены в следующей таблице.

№
1	1	0	2	2,4674	9,8696	22,2066	39,4715	61,685
2	0	1	3	2,2434	6,6311	13,2111	21,9842	32,9505
3	1	2	4	0,2572	1,5089	3,9787	7,6808	12,6156

Значит, собственные функции задачи

,

будут равны

.

Учитывая найденные собственные значения , получимобщее решение уравнения (8)

.

Решение задачи (4) – (6) представим в виде

, (9)

, (10)

. (11)

Рассмотрим конкретные варианты, предложенные в условии задачи.

Вариант первый

№
1	1	2		0	1	0

Это смешанная задача первого рода

,

,

.

Находим коэффициенты ряда (9), для чего подставляем функции ив выражения (10) и (11)

,

.

Полученные выражения для коэффициентов и собственные значения подставляем в формулу (9)

…

Вариант второй

№
2	4	3	0		0	1

Это смешанная задача второго рода

,

,

.

Находим коэффициенты

,

и подставляем полученные величины и значения корней характеристического уравнения в формулу (9)

…

Вариант третий

№
3	9	4			1	2

Это смешанная задача третьего рода

,

,

.

Находим коэффициенты

,

.

Подставляем найденные величины коэффициентов и значения корней характеристического уравнения в формулу (9) и получаем искомое решение

…