Пример 27. Найдите решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения в прямоугольнике (задание 22)

.

№

№
1	1	0	1	0	1	0	1	0
2	0	1	0	1	1	0	1	0
3	1	0	1	0	0	1	0	1

Решение. Предложенная задача является частным случаем задачи (), рассмотренной в примере 25. Поэтому решение будем искать в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора Лапласа

, (1)

где

,

, (2)

, (3)

, (4)

. (5)

Теперь составляем краевую задачу на собственные значения для оператора Лапласа в прямоугольнике (см. пример 12)

, (6)

(7)

. (8)

Эта задача имеет собственные значения и собственные функции, равные соответственно

,

или

или

или

, (9)

где и− корнихарактеристических уравнений

(10)

и

. (11)

Рассмотрим предложенные варианты краевой задачи.

Вариант первый

№
1	9			2		4				0
1	0	1	0		1		0		1		0

Это смешанная задача первого рода

Характеристические уравнения

,

имеют решения

Значит, собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в данном случае будут равны соответственно

,

или

или

Или

.

Вычисляем с помощью выражений (2) − (5) коэффициенты

,

,

.

Подставляем найденные значения в выражения (1) − (2) и получаем решение задачи

,

где

Вариант второй

№
0		1		0		1		1		0	1		0

Это смешанная задача второго рода

Характеристические уравнения

имеют решения

Значит, собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в данном случае будут равны соответственно

,

или

или

или

_.

Вычисляем с помощью выражений (2) − (5) коэффициенты

.

Подставляем найденные значения в выражения (1) − (2) и получаем решение задачи

где

Вариант третий

№
1		0		1	0			0		1	0		1

Это смешанная задача третьего рода

Составляем характеристические уравнения

Находим собственные значения и собственные функции оператора Лапласа

,

или

или

или

Вычисляем с помощью выражений (2) − (5) коэффициенты

,

.

Подставляем найденные значения в выражения (1) − (2) и получаем

где

Пример 28. Найдите решение смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения в круге (задание 23).

, ,

.

№
1	16	4		0		0	1
2	1	2			0	1	0
3	4	2		0		2	1

Решение. Задачу удобнее рассматривать в полярных координатах (), так как начальные и граничные условия не зависят оти поэтому решение задачи тоже не будет зависеть от

,

,

,

.

Решение задачи, следуя схеме примера 25, ищем в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора Лапласа

, (1)

где

,

, (2)

, (3)

, (4)

. (5)

Далее составляем краевую задачу на собственные значения

, .

Это краевая задача на собственные значения для оператора Лапласа в круге (см. пример 12(10)). Собственные функции задачи

,

где − корни характеристического уравнения

.

Первые пять корней уравнения для заданных значений иприведены в следующей таблице

№
1	0	1	4	0,9176	3,0762	6,4687	11,095	16,9551
2	1	0	2	1,4458.	7,6178	18,7218	34,7601	55,7331
3	2	1	2	0,9102	5,2942	14,1379	27,785	46,3249

Рассмотрим конкретные варианты, предложенные в условии задачи.

Вариант первый

№
1	16	4		0		0	1

Это смешанная задача второго рода

,

,

.

Находим коэффициенты ,,и, для чего подставляем функцииив выражения (2) − (5)

,

. (6)

Интеграл в выражении (6) вычислен с помощью формулы 6.567.1. из [6]

,

.

Подставляем полученные величины в формулу (1)

…

Вариант второй

№
2	1	2			0	1	0

Это первая смешанная задача

,

,

.

Находим коэффициенты ряда (1), для чего подставляем функции и в выражения (2) − (5)

,

,

=,

.

Подставляем полученные выражения в формулу (1)

Вариант третий

№
3	4	2		0		2	1

Это смешанная задача третьего рода

,

,

.

Находим коэффициенты

,

,

,

.

Подставляем найденные величины в формулу (1) и получаем искомое решение