Вариант второй
|
№ |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
0 |
Как и в предыдущем случае, нужно найти решение задачи Коши для однородного волнового уравнения на прямой
,
,
,
,
,
определяющей
закон свободных колебаний бесконечной
струны, которая в начальный момент
времени имела заданное локальное
отклонение (рис. 4.4) и заданную начальную
скорость, равную нулю. Так как
,
то решение, согласно формуле Даламбера,
будет иметь вид
.
Формулы,
определяющие форму струны при
,
можно получить тем же способом, что и в
первом варианте.
Для
этого рассмотрим разбиение фазовой
плоскости характеристиками
и
(рис.4.5), проведенными через точки
и
Необходимость характеристик
объясняется тем, что начальное отклонение
на промежутках
и
задаётся не одной формулой, как это было
в предыдущих случаях, а двумя. Указанные
характеристики разбивают фазовую
плоскость на десять областей. Из рис. 4.4
видно, что при
достаточно ограничиться тремя
характерными случаями:
,
,
.
Рис.
4.5
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
а)
,
.
Тогда при перемещении вдоль прямой
слева направо точка
фазовой плоскости последовательно
проходит области VII,
VI,
VIII,
X,
IX,
II, I. Профиль струны в этом случае
описывается соотношениями
б)
,
.
При перемещении вдоль прямой
точка
фазовой плоскости последовательно
проходит области VII,
VI,
V, X,
III,
II, I и профиль струны будет задаваться
соотношениями
в)
,
.
При перемещении вдоль прямой
точка
фазовой плоскости последовательно
проходит области VII,
VI,
V, IV,
III,
II, I и профиль струны будет задаваться
соотношениями
Вариант третий
|
№ |
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
Как и в предыдущем случае, нужно найти решение задачи Коши для однородного волнового уравнения на прямой
,
,
,
Отличие
данного варианта от двух предыдущих
заключается в начальных условиях. Как
видим, сейчас начальное отклонение
равно нулю, а начальная скорость
на отрезке
(рис. 4.6).
По формуле Даламбера
имеем
,
где
Формулы,
определяющие форму струны при t
> 0, можно получить тем же способом, что
и в предыдущих вариантах. С этой целью
разбиваем фазовую плоскость характеристиками
,
и
(рис. 4.7),
проведенными через точки
,
и
,
на десять областей. Из рис.4.7 видно, что
при t=const
достаточно ограничиться тремя характерными
случаями:
,
,
.
Рис. 4.7
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
а)
,
.
Тогда при перемещении вдоль прямой
слева направо точка
фазовой плоскости последовательно
проходит области VII,
VI,
VIII,
X,
IX,
II, I. Профиль струны в этом случае
описывается соотношениями
б)
,
.
Перемещаясь вдоль прямой
,
точка
фазовой плоскости последовательно
проходит области VII,
VI,
V, X,
III,
II, I и профиль струны будет задаваться
соотношениями
в)
,
.
При перемещении вдоль прямой
слева направо точка
фазовой плоскости последовательно
проходит области VII,
VI,
V, IV,
III,
II, I и профиль струны будет задаваться
соотношениями
