Вариант первый
|
№ |
|
|
|
| ||||||||||||
|
1 |
|
0 |
0 |
| ||||||||||||
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 | ||||
Краевую задачу (4) − (6)
,
с
помощью замены
сводим к обыкновенным дифференциальным
уравнениям
, (25)
,
. (26)
Составляем характеристическое уравнение задачи Штурма - Лиувилля (26)
,
находим собственные значения
,
и собственные функции
или
.
По
формулам (16) и (17) вычисляем коэффициенты
и
,
.
По
формулам (18) и (19) находим функции
и
,
.
Подставляем
,
и
в
формулу (15)
.
(27)
Аналогично решение краевой задачи (7) − (9)
представляем в виде
,
где
,
По
формулам (20) − (23) вычисляем коэффициенты
и функции
и
,
,
,
и
записываем окончательное выражение
для
(28)
Подставляем
найденные значения для
и
в выражение (24) и получаем решение задачи
(1) − (3) в виде
+
Вариант второй
|
№ |
|
|
|
| ||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
0 | ||||||||||||
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
2 |
0 |
2 |
−2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 | ||||
Решаем краевую задачу (4) − (6)
,
,
.
Для этого находим собственные значения
,
и собственные функции
.
Вычисляем
коэффициенты
,
и функции
и
,
,
.
Для краевой задачи (7) − (9)
,
находим собственные значения
,
и собственные функции
.
Вычисляем
коэффициенты
,
и функции
и
,
,
,
.
Подставляем найденные значения коэффициентов, собственных значений и собственных функций в выражение (19) и получаем решение задачи (1) − (3)
Вариант третий
|
№ |
|
|
|
| |||||||||||
|
3 |
|
|
|
| |||||||||||
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
3 |
−1 |
1 |
0 |
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 | |||
Решаем краевую задачу (4) − (6)
,
,
.
Для этого находим собственные значения
,
собственные функции
.
Вычисляем
коэффициенты
,
и функции
и
,
,
,
.
Для краевой задачи (7) − (9)
,
находим собственные значения
и собственные функции
.
Вычисляем
коэффициенты
,
и функции
и
,
,
,
.
Подставляем найденные значения коэффициентов, собственных значений и собственных функций в выражение (19) и получаем решение задачи (1) − (3)
Пример 15. Найдите решение краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре (задание 12)
(1)
.
(2)
|
№ |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
0 |
|
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
|
3 |
1 |
2 |
1 |
|
Решение.
Уравнение
(1) и граничное условие (2) преобразуем
в сферические координаты (
,
):
. (3)
. (4)
Решение ищем в виде
. (5)
После подстановки (5) в (3) получаем два дифференциальных уравнения
,
(6)
.
(7)
В уравнении (7) сделаем замену
,
(8)
которая приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям
,
(9)
.
(10)
Решение уравнения (10)
должно
быть непрерывным. Это значит, что
.
Исходя из этого условия находим
(
– целое
число) и
.
(11)
С
помощью подстановки
уравнение (9) приводится к виду
.
(12)
Чтобы
решение уравнения (12) было бы ограниченным,
то есть
при
,
нужно положить
В результате получаем уравнение Лежандра
,
решениями
которого при
являются полиномы Лежандра
,
а при
− присоединённые функции Лежандра
.
Таким образом, принимая во внимание
выражение (8), приходим к выводу, что
решениями уравнения (7) будут сферические
функции
.
Уравнение
(6) при
имеет решение
.
Исходя
из условия ограниченности решения,
следует положить
.
Решениями уравнения (3) будут, согласно выражениям (5) и (8), шаровые функции
.
Решение задачи (3) − (4) представим в виде ряда Фурье по сферическим функциям
.
(13)
Формулы для вычисления коэффициентов можно получить с помощью граничного условия (4). Для этого подставим выражение (13) в (4). В результате получаем
.
(14)
Если
функция
,
то выражение (14) будет рядом Фурье для
этой функции с коэффициентами
, (15)
, (16)
, (17)
.
Предположим
к тому же, что функция
имеет непрерывную первую производную
и кусочно-непрерывную вторую производную,
тогда она разлагается в абсолютно и
равномерно сходящийся ряд (14), и при
ряд (13) можно почленно дифференцировать
дважды. Следовательно, выражение (13)
будет являться решением задачи (1) −
(2). Рассмотрим конкретные варианты
задачи.
Вариант первый
|
№ |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
0 |
|
Этот вариант представляет собой задачу Дирихле для уравнения Лапласа
или в сферических координатах
,
.
По формулам (15) − (17) вычисляем коэффициенты
,
,
,
,
.
Подставляем эти коэффициенты в формулу (13) и получаем искомое решение
.
Вариант второй
|
№ |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
Данный вариант задачи (1) − (2) представляет собой задачу Неймана для уравнения Лапласа в шаре
,
,
решение которой, согласно выражениям (14) − (17), определяется формулами
,
,
.
,
.
,
.
.