4.1.2. Фазовая плоскость
Свойства решения волнового уравнения
удобно
исследовать с помощью фазовой плоскости
,
которая называется также плоскостью
состояний. Характеристиками волнового
уравнения являются прямые
и
.
Функция
сохраняет постоянное значение вдоль
характеристики
,
а функция
– вдоль характеристики
.
Пусть функции
и
отличны от нуля в интервале
и равны нулю вне этого интервала.
Рис. 4.1
Проведем
через точки
и
характеристики
,
для функции
и
,
для функции
(рис.4.1). Они разбивают фазовую плоскость
на шесть областей. На интервале
задано начальное возмущение для этих
функций
.
При
,
то есть с ростом
начальное возмущение функции
будет перемещаться в полосе, ограниченной
прямыми
,
(области VI
и IV).
Поэтому функция
,
где
,
будет отличной от нуля только в областях
VI
и IV.
В областях же I,
II,
III
и V
.
Начальное возмущение функции
будет перемещаться в полосе, ограниченной
прямыми
,
(области VI
и II),
а функция
,
где
,
будет отлична от нуля в областях VI
и II,
а в областях I,
III,
IV
и V
.
Таким образом, состояние процесса в
любой точке
фазовой плоскости зависит от того, в
какой из этих областей находится эта
точка. Так в областях I,
III,
V
отклонение равно нулю. В области II
отклонение вызывается только правой
волной, в области IV
– только левой волной, а в области VI
– и левой, и правой волной вместе.
Пример 9. Неограниченная
струна имеет на отрезке
локальное начальное отклонение
и локальную начальную скорость
.
Найдите формулы, определяющие профиль
струны при
(задание 7).
|
№ |
|
|
|
|
1 |
9 |
|
0 |
|
2 |
4 |
|
0 |
|
3 |
1 |
0 |
|
Решение. Данная задача представляет собой задачу Коши для однородного волнового уравнения на прямой. Рассмотрим предложенные варианты задачи.
Вариант первый
|
№ |
|
|
|
|
1 |
9 |
|
0 |
Имеем задачу Коши
,
,
,
,
.
Её можно истолковать как математическую модель свободных колебаний бесконечной струны, которая в начальный момент времени имела начальное отклонение в форме квадратичной параболы (рис. 4.2) и начальную скорость, равную нулю.
Решение задачи находится по формуле Даламбера
.
В
рассматриваемом случае
,
поэтому её решение будет иметь вид
.
Для
получения формул, определяющих форму
струны при
,
рассмотрим разбиение фазовой плоскости
характеристиками волнового уравнения,
проведенными из концов интервала (–l,
l).
На этом интервале, согласно начальному
условию
,
отклонение отлично от нуля (рис. 4.3).
Из рисунка видно, что при
достаточно ограничиться двумя характерными
случаями:
и
.
Рис.
4.3
Точка
представляет собой точку пересечения
прямых
и
.
Рассмотрим каждый из этих случаев в
отдельности.
а)
Пусть
,
.
Тогда при перемещении вдоль прямой
слева направо точка
фазовой плоскости последовательно
проходит области V, IV, VI, II, I. Профиль
струны в этом случае описывается
соотношениями
б)
,
.
При перемещении вдоль прямой
слева направо точка
фазовой плоскости последовательно
проходит области V, IV, III,
II, I и профиль струны будет задаваться
соотношениями
