2.8.3. Действующий элемент и его связи. Стр. 4

Приведем некоторые определения линейной алгебры.

1. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора.

2. Минором M_ij определителя D n-ного порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, получающийся из D вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Как уже сказано, действующие элементы соединяются связями в систему через свои входы и выходы. При этом выход одного элемента одновременно является входом другого действующего элемента.

Возьмем два элемента системы. Например, элемент Е₁ - с входным вектором Х⁽¹⁾ и выходным вектором У⁽¹⁾; элемент Е₂ - с входным вектором Х⁽²⁾ и выходным вектором У⁽²⁾. Элемент Е₁ может воздействовать на элемент Е₂ только таким образом, что элемент Е₂ через свои входы принимает состояние всех или некоторых выходов элемента Е₁. Следовательно, некоторые составляющие выходного вектора У⁽¹⁾ становятся составляющими входного вектора Х⁽²⁾.

Теперь обозначим составляющие вектора , а составляющие вектора . Тогда мы можем записать:

(2.15)

Очевидно, что полученное равенство должно быть выполнено хотя бы для одной пары значений (i,j) - иначе не было бы и воздействия элемента Е₁ на элемент Е₂

Такое преобразование составляющих выходного вектора элемента Е₁ в составляющие входного вектора элемента Е₂ будем называть связью элемента Е₁ с элементом Е₂. Эту связь графически можно представить следующим образом:

Использование всех отдельных составляющих входного и выходного векторов практически очень неудобно. При большом числе составляющих картина связи между действующими элементами системы становится очень сложной и запутанной. Однако ее можно упростить следующим образом: введем квадратную матрицу (обозначим ее, например, S₁₂). Она состоит из m или n строк и столбцов в зависимости от того, m ≥ n или n ≥ m. Элементы этой матрицы будут иметь значение 1 для всех i и j , для которых выполняется приведенное равенство, и значения 0, для которых оно не выполняется.

Другими словами, элементы этой матрицы имеют значение 1, если соответствующая составляющая вектора У⁽¹⁾ становится составляющей вектора Х⁽²⁾, и значение 0, если этого не происходит. Введенная нами матрица будет иметь такую форму:

2.8.4. Действующий элемент и его связи. Стр. 5

(2.16)

Это так называемая нуль-единичная матрица. Причем хотя бы один элемент этой матрицы является единицей, а в каждой строке (и столбце) ее имеется не более одной единицы.

Если m > n, то m - n строк матрицы состоят из одних нулей; если же n > m, то n - m колонок состоят из одних нулей. В этом случае m - n входов элемента Е₂ или n - m выходов элемента Е₁ не "принимают участия" в образовании связи. Назовем с вами матрицу S₁₂ матрицей связи элемента Е₁ с элементом Е₂.

С помощью матрицы связи мы можем записать полученное ранее равенство в таком виде:

(2.17)

Это можно представить графически.

На этом рисунке показаны векторы, а не отдельные составляющие.

Рассмотрим теперь систему из большего, чем два, числа действующих элементов. Также обозначим отдельные элементы через Е₁, Е₂, Е₃,….., а их входные и выходные векторы - соответственно через Х⁽¹⁾, Х⁽²⁾, Х⁽³⁾, ……. и У⁽¹⁾, У⁽²⁾, У⁽³⁾,…..

Если элементы последовательно связаны по два, мы будем говорить, что имеет место цепь связей. Поскольку нумерация элементов произвольна, цепь связей можно представить в виде векторных равенств:

(2.18)

В этом уравнении S₁₂ , S₂₃ ,……… обозначают матрицы связей элемента Е₁ с элементом Е₂ , элемента Е₂ с элементом Е₃ и т.д. Отдельные векторные равенства в этом ряду будем называть звеньями цепи связей.

Это можно представить графически.

Про виды связей говорилось ранее. Сочленение их в систему происходит примерно по такому же принципу, как и показанное выше сочленение в цепи.

Есть и более "красивый" путь связывания элементов в системе - это путь с использованием так называемого "преобразования Лапласа", где используются "функции - изображения" и их оригиналы. Несмотря на сложную теорию, они довольно просты в использовании, поскольку имеются готовые таблицы таких преобразований для многих типов основных функций.