Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

Покажем, что (5.6.1) можно свести к одному уравнению третьего порядка. Из первого уравнения системы (5.6.1) находим

Подставляя зависимость (5.6.2) во второе уравнение системы (5.6.1), приходим к уравнению

Учитывая (5.6.2) и (5.6.3), из третьего уравнения системы Лоренца (5.6.1) получаем уравнение третьего порядка относительно x(t)

x xttt − xt xtt + x3 xt + (1 + b + σ) x xtt − (1 + σ) x2t +

(5.6.4)

+b (1 + σ) x xt + σ x4 + b σ (1 − r ) x2 = 0.

Проверим систему уравнений (5.6.1) на свойства Пенлеве. В отличие от работы [150], для анализа используем не систему уравнений Лоренца (5.6.1), а уравнение (5.6.4). Покажем, что в общем случае система уравнений Лоренца не проходит тест Пенлеве. Однако существуют значения параметров математической модели, при которых система уравнений Лоренца является точно решаемой. При анализе уравнения (5.6.4) воспользуемся алгоритмом

Абловица—Рамани—Сигура [39], который состоит из трех шагов.

Первый шаг: нахождение семейства решений при разложении в ряд Лорана. Для определения всех ветвей решения вос-

пользуемся укороченным уравнением, соответствующим уравнению (5.6.4):

+21 σ − 54 ia2 + 108 σ2 r + 1].

В случае b = 1 − 3 σ коэффициент a3 определяется по формуле

значения: b1 = 2 и b2 = 1. Разложения двух семейств решений при b = 2 σ только в этих двух случаях имеют три произвольные постоянные и, следовательно, только при этих двух значениях параметров система уравнений Лоренца проходит тест Пенлеве.

304 Глава 5. Методы построения точных решений

Если условия (5.6.16) и (5.6.17) не выполняются, то для про-

ответственно, при b3 = 1, b4 = 0 и в случае произвольных значений r коэффициенты a2 и a4 при разложении решения уравнения (5.6.4) в ряд Лорана могут быть произвольными. В этих случаях система уравнений Лоренца снова проходит тест Пенлеве.

Если условие (5.6.19) не выполняется, то в разложении реше-

В случае b = 1 − 3σ для первого семейства решений получаем разложение в виде

+a4 (t − t0)3 + . . .

Из (5.6.21) и (5.6.22) видно, что при b = 2 σ и b = 1 − 3 σ разложения решений системы уравнений Лоренца в ряд Лорана в общем случае имеют только две произвольные постоянные, и, вообще говоря, в этих случаях система уравнений Лоренца не обладает свойством Пенлеве. Таким образом, для системы уравнений Лоренца (5.6.1) существуют четыре набора значений параметров

σ, b и r, при которых система проходит тест Пенлеве [150]. Случай 1 : σ = 1, b = 2, r = 19 . В этом случае для систе-

мы уравнений Лоренца находится один первый интеграл. Система уравнений приводится ко второму уравнению Пенлеве. Общее решение выражается через трансценденты второго уравнения Пе-

нлеве.

Случай 2: σ = 12 , b = 1, r = 0. В этом случае система Лоренца имеет два независимых интеграла. Общее решение выражается

через эллиптическую функцию.

Случай 3: σ = 0, b = 1, r — произвольная постоянная. В этом случае система Лоренца приводится к линейному уравнению.

Случай 4: σ = 13 , b = 0, r — прозвольная постоянная. Система Лоренца в этом случае имеет один первый интеграл, и уравнение приводится к третьему уравнению Пенлеве. Общее решение выражается через трансценденты третьего уравнения Пенлеве.

В случае b = 2 σ система Лоренца имеет первый интеграл. Однако без дополнительных ограничений в этом случае она не

Первый интеграл системы Лоренца в этом случае имеет вид

Случай 2: b = 1, σ = 1 r — произвольная постоянная.

Умножив уравнение (5.6.23) на x и уравнение (5.6.25) на z,

откуда при b = 1 и σ = 1 находим первый интеграл системы уравнений Лоренца в виде

Случай 3: b = 1, r = 0, σ — произвольная постоянная.

Умножив уравнение (5.6.24) на y и уравнение (5.6.25) на z,

Для поиска оставщихся трех первых интегралов применим метод неопределенных коэффициентов. Произвольной постоянной в разложении решения системы Лоренца в ряд Лорана является a4, и поэтому следует ожидать, что первые интегралы системы Лоренца содержат полиномы, которые составлены из мономов четвертого порядка:

P4 = B1 x2 y + A0 x2 + S2 x z + S1 x y + B3yz + B4 y2+

(5.6.42)

+A2 z + A1 y + E0 x + B5 z2 + S0 x3 + B0 x4 + B2 x2 z,

где E0, A0, . . . , A2, S0, . . . , S5, B0, . . . , B5 — ненулевые постоянные, значения которых требуется найти.

Пусть первый интеграл системы уравнений Лоренца имеет вид:

где значение постоянной γ также будем находить. Первый интеграл (5.6.43) удовлетворяет уравнению

σ (y − x) ∂P∂x4 + (rx − y − z x) ∂P∂y4 +

(5.6.44)

+(x y − b z) ∂P4 ∂z

из которого приходим к системе алгебраических уравнений для определения коэффициентов E0, A0, . . . , A2 , S0, . . . , S5, B0, . . . , B5. Решая эту систему, найдем три ранее полученных интеграла и еще три дополнительных первых интеграла.

= C4 exp {−4 σ t}.

Полученные первые интегралы используются при построении общих решений системы уравнений Лоренца для точно решаемых случаев.

5.6.3.Точно решаемые случаи системы Лоренца

Как сказано выше, в зависимости от значений параметров σ, r и b, система уравнений Лоренца (5.6.1) может оказаться как точно решаемой, так и неинтегрируемой [39].

В предельном случае при r → ∞ система уравнений Лоренца становится консервативной точно решаемой системой уравнений, и она приводится к уравнению для эллиптической функции Якоби

σ = 12 , r = 0; 3) σ = 0 и 4) b = 0, σ = 1, r — произвольная посто-

янная. Общее решение системы уравнений во всех этих случаях зависит от трех произвольных постоянных.