Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

Рис. 5.8. Многоугольник, соответствующий дифференциальному уравнению (5.5.29)

где Y (z) является решением простейшего уравнения с полюсом первого порядка, которое требуется найти. Подставляя (5.5.32) в уравнение (5.5.29), получаем

(5.5.33)

Носитель этого уравнения определяется десятью точками:

Q1 = (−6, 1), Q2 = (−5, 2), Q3 = (−4, 3), Q4 = (−3, 4), Q5 = = (−2, 5), Q6 = (−1, 6), Q7 = (0, 2), Q8 = (0, 1), Q9 = (−1, 1),

Q10 = (−5, 1). Многоугольником L2 является четырехугольник, который представлен на рис. 5.9. Используя этот многоугольник, можно построить многоугольник L3, в качестве которого можно взять треугольник, представленный на рис. 5.9. Простейшим

ˆ

где R — дифференциальный оператор.

Уравнение (5.5.30) может быть проинтегрировано по z, и в результате приходим к уравнению четвертого порядка в виде

Yzzzz − 10 Y 2 Yzz − 10 Y Yz 2 + 6 Y 5 − z Y − β = 0, (5.5.38)

где β — произвольный параметр. Таким образом, для решений уравнения (5.5.29) (и, следовательно, для пистроения решений уравнения (5.5.27)) получаем преобразование Миуры (5.5.31).

5.5.3.Автомодельные решения модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза пятого порядка

Используя многоугольник Ньютона найдем автомодельные решения модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза пятого порядка

M4[w] = wzzzz − 10 w2 wzz − 10 wwz2 + 6 w5 − z w − β = 0. (5.5.41)

Результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 5.3. Пусть Y (z) — решение уравнения

является решением уравнения (5.5.41) при β = 1/2.

294 Глава 5. Методы построения точных решений

Доказательство. Построим многоугольник, соответствующий уравнению (5.5.41). Мономам уравнения (5.5.41) соответствуют точки на плоскости: M1 = (−4, 1), M2 = (−2, 3), M3 = = (−2, 3), M4 = (0, 5), M5 = (1, 1), M6 = (0, 0). Носитель уравнения содержит пять точек: Q1 = M1, Q2 = M4, Q3 = M5, Q4 = M6 и Q5 = M2 = M3. Внешней оболочкой этого носителя является четырехугольник L1 с вершинами Γ(0)j = Qj (j = 1, 2, 3, 4) и ребра-

ми Γ(1)1 = [Q1, Q2], Γ(1)2 = [Q2, Q3], Γ(1)3 = [Q3, Q4], Γ(1)4 = [Q1, Q4]

(рис. 5.10).

Рис. 5.10. Многоугольники дифференциальных уравнений (5.5.41) и (5.5.46)

Ведущие члены уравнения (5.5.39) расположены на ребре

получаем четыре ветви разложений решений уравнения (5.5.41):

(p, a0) = (−1, 1), (−1, −2), (−1, −3), и (−1, 4). Учитывая порядок полюса решения уравнения (5.5.41), будем искать точные ре-

шения в виде

где Y (z) — решение простейшего уравнения

Параметры a, b, c, d и m находятся после подстановки (5.5.45) в уравнение (5.5.41). Подставляя (5.5.45) в (5.5.41) и используя уравнение

Yzzz = E3[Y ] + a Y Yzz + b Yz2 + c Y 2Yz +

(5.5.47)

+d Y 4 + m z = 0,

приходим к алгебраическим уравнениям относительно параметров a, b, c, d, m, β и A1. Решая уравнения, получаем значения

Следовательно, уравнение (5.5.41) имеет решение, которое выражается через функцию от Y (z) при β = ±1/2.

Решениями уравнения (5.5.42) являются трансценденты первого уравнения Пенлеве

296 Глава 5. Методы построения точных решений

5.5.4.Уединенные волны нелинейного эволюционного уравнения шестого порядка

Найдем точные решения нелинейного эволюционного уравнения шестого порядка:

Решение уравнения будем искать, используя переменные бегущей волны

где y(z) удовлетворяет уравнению

C1 — постоянная интегрирования. Результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 5.4. Пусть Y (z) — решение уравнения Риккати

Доказательство. Мономам уравнения (5.5.53) соответствуют следующие точки на плоскости: Q1 = (−5, 1), Q2 = (0, 2), Q3 = (0, 0), Q4 = (−3, 1) и Q5 = (−1, 1). Многоугольник Ньютона L1, соответствующий уравнению (5.5.53), — треугольник изображенный на рис. 5.11.

Подставляя выражение (5.5.63) в (5.5.53), получаем новое уравнение и новый многоугольник L2 в виде четырехугольника (рис. 5.15). Подходящим многоугольником L3 является треугольник на рис. 5.15. Этому треугольнику соответствует уравнение Риккати с постоянными коэффициентами

Рис. 5.13. Уединенная волна описываемая уравнением (5.5.53) при:

(a) — α = α1; (b) — α = α2; (c) — α = α3; (d) — α = α4;

Подставляя

в уравнение (5.5.53) и приравнивая нулю коэффициенты при разных степенях Y (z), приходим к алгебраическим уравнениям от-

300 Глава 5. Методы построения точных решений

носительно коэффициентов A5, A4, A3, A2, A1, A0 и параметров C1, β, αk и wk. Решая эту систему уравнений, имеем:

Для параметров C1, β, αk, и wk находим выражения (5.5.56), (5.5.57), (5.5.58), (5.5.59), (5.5.60), и (5.5.62). При этом получаем соотношение в виде:

Подставляя (5.5.67) в (5.5.55) и учитывая, что αk = wk δ/ε (k = 1, . . . , 6), находим шесть решений в виде уединенных волн уравнения (5.5.53). Четыре вида уединенных волн, которые описываются уравнением шестого порядка (5.5.53), представлены на рис. 5.13.

5.6.Аналитические свойства системы уравнений Лоренца

5.6.1.Тест Пенлеве для системы уравнений Лоренца

Система уравнений Лоренца может быть записана в виде [39]