Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

.pdf

Скачиваний:

600

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

5.3. Метод гиперболического тангенса

261

5.3.Метод гиперболического тангенса для поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений

Дальнейшим развитием метода укороченного разложения Вайса—Табора—Карневейля и метода экспоненциальной функции является метод гиперболического тангенса (tanh — method), который очень популярен при поиске точных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Заметим, что для функции G(z), имеющей вид
G(z) =	exp{k z}	,	(5.3.1)
	1 + exp{k z}

cправедлива следующая цепочка равенств:

∂(1 + exp{k z}) = k G(z) =

∂z

k exp{k z}

k exp{k θ}

1 + exp{k z}

1 + exp{k θ}

− 2

(5.3.2)

2 exp{k z}

+ 1

exp k z

− 1

1 + tanh

k z

{ }

Из (5.3.2) получаем также соотношение

∂ x2

(1 + exp{k z}) =

1 − tanh2

(5.3.3)

∂2

k z

С учетом сказанного,

решение

уравнения

Кортевега—

де Вриза—Бюргерса, полученное в п. 5.1.2, можно записать в виде

u(x, t) = C2 + 3β k2 1 − tanh2			k z	−
u(x, t) = C2 + 3β k2 1 − tanh2			2	−
−6	5 k	1 + tanh k2z .		(5.3.4)
	ν

262 Глава 5. Методы построения точных решений

Подставляя в последнее выражение значение k из (5.1.57) получаем окончательно решение в виде

3 ν2

6ν2

3 z

u(x, t) = C2 +

tanh

−

25β

(5.3.5)

ν2

3 z

−

tanh2

25 β

или в более удобном виде

− 25 β 1

tanh 10

u(x, t) = C2 + 25 β 25β

. (5.3.6)

6 ν2

6ν2

3 ν2

3 z

Заметим, что полученная степень гиперболического тангенса совпадает с порядком полюса общего решения уравнения.

Очевидно, что точные решения уравнения Кортевега— де Вриза—Бюргерса

ut + u ux + β uxxx − ν uxx = 0

(5.3.7)

можно искать, используя переменные бегущей волны

u(x, t) = y(z), z = x − C0 t,

(5.3.8)

в виде полинома от гиперболического тангенса

y(z) = A0 + A1 tanh{m z} + A2 tanh2{m z},

(5.3.9)

где m — постоянная.

Кратко метод гиперболического тангенса для поиска точных решений можно описать следующим образом.

Пусть задано нелинейное дифференциальное уравнение p-го порядка

E (y, yz , yzz , . . . , z) = 0

(5.3.10)

5.3. Метод гиперболического тангенса

263

и пусть порядок полюса общего решения уравнения равен n. Тогда решение этого уравнения можно искать в виде разложения по функциям гиперболического тангенса

n
y(z) = Ak tanhk {m z}.	(5.3.11)

k=0

Подставляя решение (5.3.11) в уравнение (5.3.10) и используя соотношение для производных

d tanhk{m z} = m k tanhk−1{m z} 1 − tanh2{m z} , dz

(5.3.12) получим полином степени n + p от функции гиперболического тангенса. Приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени гиперболического тангенса, приходим к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов An, . . . , A0, параметра m и параметров математической модели. Решая полученную систему уравнений, находим точные решения в виде (5.3.11).

5.3.1.Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка

Рассмотрим применение метода гиперболического тангенса для поиска точных решений нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка

ut + u ux + β uxxx − uxxxxx = 0.

(5.3.13)

В переменных бегущей волны это уравнение принимает вид

yzzzz − β yzz −	1		(5.3.14)
	2 y2 + C0 y − C1	= 0.

Полюс общего решения уравнения (5.3.14) равен четырем, поэтому решение этого уравнения будем искать в виде

y(z) = A0 + A1 tanh (kz) + A2 tanh2 (kz) +

(5.3.15)

+A3 tanh3 (kz) + A4 tanh4 (kz) .

264 Глава 5. Методы построения точных решений

Подставляя (5.3.15) в уравнение (5.3.14) и приравнивая нулю выражения при одинаковых степенях гиперболического тангенса нулю, получаем значения коэффициентов разложения (5.3.15)

																					280										β + 104 k2 ,
A4 = 1680 k4 ,									A3 = 0,								A2 = −												k2
A4 = 1680 k4 ,									A3 = 0,								A2 = −								13				k2								(5.3.16)
											31										560										1568
A1 = 0,					A0 = C0 −														β2 +									β k2 +								k4.
A1 = 0,					A0 = C0 −										507				β2 +					39				β k2 +					3			k4.
Кроме того, получаем уравнение для определения k
179200								k6 +			31360								β k4		8680									β3 = 0.							(5.3.17)
																					−
			3								13										−				6591
Решая полученное уравнение, находим значения k в виде
					√																1
							13 β

k(1,2) = ±										,		k(3,4) = ±															−2015 β + 195 iβ √31,
k(1,2) = ±						26				,		k(3,4) = ±									260						−2015 β + 195 iβ √31,
											1

																		−2015 β − 195 iβ √31.
					k(5,6) = ±
					k(5,6) = ±									260																							(5.3.18)
Постоянная C1 выражается через значения k
1		c02				543872						k8 −					14224						β2k4 −								313600				β k6−
C1 =			−
C1 =	2		−						9									507													117
																																					(5.3.19)
									961								17360
							−						β4 +													k2β3.
							−		514098				β4 +							19773						k2β3.
Уединенные волны, описываемые уравнением (5.3.13) выра-
жаются формулой
y (z) = C0 −			31					β2 +			560					β k2 +					1568										280			β k2 tanh2 (kz) −
																												k4 −
				507								39										3						k4 −				13

−2240 k4 tanh2 (kz) + 1680 k4 tanh4 (kz) ,

(5.3.20)

5.3. Метод гиперболического тангенса

265

Рис. 5.3. Уединенная волна, описываемая уравнением пятого порядка (5.3.13)

где значения k определяются выражениями (5.3.18). На рис. 5.3 демонстрируется одна из таких волн при k = k1.

5.3.2.Точные решения уравнения Гинзбурга—Ландау

Применим метод гиперболического тангенса для нахождения точных решений уравнения Гинзбурга—Ландау

i At + p Axx = q |A|2 A − i γ A = 0,

(5.3.21)

где p, q C, γ R и p q γ = 0.

Известно, что уравнение Гинзбурга—Ландау не имеет точных решений в виде периодических волн [106], однако уравнение имеет набор точных решений в виде уединенных волн. Комплексную функцию в уравнении Гинзбурга—Ландау будем искать в виде

A(x, t) = M (z) exp {i(ϕ(z) − ω t)}, z = x − C0 t, (5.3.22)

где

|A|2 = M ≥ 0, arg A = ϕ(z) − ω t, ω R.

Подставляя (5.3.22) в исходное уравнение, получаем систему уравнений относительно функций M (z) и ϕ(z) в виде [106]

= 0.

266 Глава 5. Методы построения точных решений

Mzz

M z2

c s M

c si

−

i z

−

ϕz −

+ dr M + gi = 0,

4M 2

c s

(5.3.23)

ϕz −

+ ϕz −

− c si +

+di M − gr = 0.

Шесть параметров системы уравнений (5.3.23) выражаются с

помощью следующих соотношений [106]

d = dr + idi =

s = sr − i si =

, g = gr + i gi.

(5.3.24)

Если ввести обозначение

(5.3.25)

G = 2 M Mzz − 4 Mz −

2 c si M Mz + dr M + gi M ,

то систему уравнений (5.3.23) можно записать в виде

ϕz −

(5.3.26)

(Gz − 2c si G)2 − 4 G M 2 (di M − gr )2 = 0.

(5.3.27)

Уравнение относительно функции M (z) принимает вид

Mzzz − 2csigiM +

3dr M + 2gi + c2si2

Mz −

−2csidr M 2 −

csiMzz

− 4 (diM − gr )2

M Mzz −

(5.3.28)

−14 Mz2 − 12 csiM Mz + dr M 3 + giM 2

При этом функция ϕ(z) находится из уравнения

ϕz =	c si	+	Gz − 2 c siG	.	(5.3.29)

2			2 M 2 (gr − diM )

5.3. Метод гиперболического тангенса

267

Решение уравнения (5.3.28) имеет полюс второго порядка, поэтому будем искать решение M (z) в виде

M (z) = A0 + A1 tanh {m z} + A2 tanh2 {m z}.

(5.3.30)

Подставляя (5.3.30) в уравнение (5.3.28), находим три значения коэффициента A2

A(1)2 = −2 m2, A(2)2 = 4 m2, A(3)2 = −4 m2.

Пусть A2 = −2 m2, тогда получаем A1 и A0:


			A(1)		=		1		m c,
			A(1)		=				m c,
				1	5
		1			5					1		4
(1)		1				c2				1		4
A0	= −		gi	−				+			gr +		m2.
A0	= −	6	gi	−		200		+		3	gr +	3	m2.

Кроме того, для gi получим соотношение

g(1) = 2 m2 + 3 c2 .

i	200

Полагая gi = gi(1), имеем:

(1)	= m2 −	c2		(1)	= −3 m2 −	21 c2
gr,1			,	gr,2			.
		400				400

В случае gr = gr,(1)1 имеем четыре значения m:

√

(1)

= −

(1)

i 5c

, m2

, m3

√

(1)

= −

(5.3.31)

(5.3.32)

(5.3.33)

(5.3.34)

(5.3.35)

268 Глава 5. Методы построения точных решений

и четыре решения для M (z):

(1)	(z) = −						c2			±			1			c2 tanh ±															c z	−
M1,2
M1,2						200							100																		20
				1																	c z
		−						c2 tanh2								±										,
		−	200					c2 tanh2								±					20					,
				2								2	√										'±				√					( −	(5.3.36)
(1)				2								2	√														√		5c z				(5.3.36)
(1)				c							c		5																5c z
M3,4 (z) = −																tan
M3,4 (z) = −				40								100				tan												20
				2											√
			c	2											√		5 c z
		−					tan2					'±													( .
		−	40				tan2					'±				20									( .
При gr = g(1) решение M (z) принимает вид:
	r,2
(1)		c2			c m																									2		2	(5.3.37)
M5 (z) = −40 +				5						tanh (m z) − 2 m tanh (m z) ,																							(5.3.37)
M5 (z) = −40 +				5						tanh (m z) − 2 m tanh (m z) ,
где m — произвольная постоянная.
Пусть A(2)	= 4 m2. В этом случае имеем следующие коэффи-
2
циенты A(2) и A(2):
1	0
										A(2) =								2		m c,
										A(2) =								5		m c,
												1																					(5.3.38)

				(2)								c2						4										8
				(2)					=			c2						4				gi +						8		m2
			A0											−
			A0									100		−					3									3
и соотношение для gi
				(2)												2							9					2					(5.3.39)
											= −m							+
							gi																	400 c .
							gi																	400 c .

Полагая gi = gi(2), находим значение m = 20c и решение M (z) в виде:

(2)

(z) =

c2 tanh

c z

−

1,2

100

(5.3.40)

c z

−c2

−

tanh2

100

5.3. Метод гиперболического тангенса

269

при произвольном значении gr .

Для третьего семейства решений A(3)2 = −4 m2

эффициенты A(3) и A(3)						в виде:
	1			0
(3)	2 m c			(3)		19				c2			4					8			m2 +
A1 = −		,		A0 =							+					gi −
	5							1300					39						3
Для gi	и для gr имеем соотношения
				(3)		13					3							3
				gi =					m2 +						c2 −					gr ,
							2					800						4
	(3)			c2					(3)					3 c2
gr,1 =					− 2 m2,				gr,2		=						+ 6 m2.
			200											200
При gr	= g(3)			имеем четыре значения m
	r,1

получаем ко-

1639 gr . (5.3.41)

(5.3.42)

(5.3.43)

																								i c √
				(3)								c					(3)							i c √			2			(5.3.44)
			m1,2 = ±20 , m3,4 = ±																						40 ,					(5.3.44)
			m1,2 = ±20 , m3,4 = ±																						40 ,
и четыре решения для M (z):
M	(3)(z) =								c2					c2			tanh			±			c z			+
M	(3)(z) =																tanh									+
	1,2			100										50									20
				100										50									20
							c2											c z
	+									tanh2					±					,
	+						100			tanh2					±			20		,
(3)				2							2		√			tan '±						c z		√		( +				(5.3.45)
				2							2		√											√						(5.3.45)
	(z) =					c					c			2											2
M3,4								±
M3,4						50		±			100												40
						c2							'±				c z √				( .
						c2											c z √		2
	+								tan2
	+			200					tan2								40
В случае gr = g(3) решение принимает вид
			r,2
(3)		c2			2 m c						tanh (m z) + 4 m													2				2		(5.3.46)
M5 (z) = 50 −				5																					tanh				(m z) ,	(5.3.46)
M5 (z) = 50 −				5																					tanh				(m z) ,

270 Глава 5. Методы построения точных решений

где постоянная m является произвольной.

Таким образом, с помощью метода гиперболического тангенса получены двенадцать решений уравнения Гинзбурга—Ландау при некоторых ограничениях на значения параметров исходного уравнения.

5.4.Метод простейших уравнений для поиска точных решений

Идея метода простейших уравнений состоит в том, чтобы решение исходного уравнения искать, используя не элементарные и специальные функции, а общие решения простейших уравнений. Простейшим уравнением будем называть уравнение с известным общим решением меньшего порядка, чем исходное уравнение. Суть метода состоит в следующем.

Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение n- го порядка

Mn[y] = Mn(y, yz , yzz , . . . , z) = 0.

(5.4.1)

Возьмем уравнение меньшего порядка, решение которого известно

Em[Y ] = Em(Y, Yz , . . . , z) = 0.

(5.4.2)

При известных порядках полюсов решений уравнений (5.4.1) и (5.4.2) можно написать зависимость между решениями этих уравнений

y = F (Y ),

(5.4.3)

Подставляя (5.4.3) в исходное уравнение, можно получить соотношение

ˆ	(5.4.4)
Mn[F (Y )] = REm[Y ].

В этом случае решение y(z) исходного уравнения находится по формуле (5.4.3).

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20139.31 Mб477Крючков Основы учёта,контроля 2007.pdf
#
16.08.20132.37 Mб207Крючков Технические аспекты ядерного нераспространения 2010.pdf
#
16.08.2013864.18 Кб35Ктитров Администрирование ОЦ УНИХ 2007.pdf
#
16.08.20131.06 Mб55Ктитров Командный язык ОЦ Уних 2007.pdf
#
16.08.20131.93 Mб149Ктитров Расчет установившихся режимов и переходных процессов в нелинейных 2008.pdf
#
16.08.20131.5 Mб600Кудряшов Методы нелинейной математич 2008.pdf
#
16.08.20131.51 Mб199КузминАМ Основы теории критичности 2008.pdf
#
16.08.20131.79 Mб84Кулик Елементы теории принятия решений 2010.pdf
#
16.08.20131.87 Mб113Кулик Теория принятия решений 2007.pdf
#
16.08.201310.8 Mб244Курнаев Введение в пучковую електронику 2008.pdf
#
16.08.201310.79 Mб71Лабораторный практикум Компютерное модел 2007.pdf