Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Это знаменитая поправка α/2π, впервые вычисленная Швингером 5.

Конечно, это лишь первая низшая радиационная поправка к магнитному моменту. Уже в следующем, четвертом порядке по е количество слагаемых столь велико, что вычисления становятся довольно сложными. Однако из-за большой величины отношения масс мюона и электрона, существует одна поправка четвертого порядка к магнитному моменту мюона, которая несколько больше всех остальных. Она возникает от включения электронной петли в линию виртуального фотона в диаграмме второго порядка (см. рис. 11.5). Включение этой петли приводит к замене фотонного пропагатора 1/k2 â (11.3.1) íà (1 + πe(k2))/k2, ãäå πe(k2) дается формулой (11.2.22),

а масса m полагается равной массе электрона:

Рис. 11.5. Двухпетлевая диаграмма для магнитного момента мюона. Жирная прямая линия изображает мюон, тонкая волнистая — фотон, остальные тонкие линии — электроны. Эта диаграмма дает относительно большой вклад в четвертом порядке в гиромагнитное отношение для мюона, пропорциональный ln(mμ/me).

Анализ выражения (11.3.12) показывает, что при вычислении мюонного магнитного момента эффективное обрезание импульса виртуального фотона k равно mμ. Отношение mμ/me столь велико, что при k2 порядка mμ2 можно приближенно записать

где отброшенные слагаемые содержат вместо ln(mμ2/me2) коэффи-

циенты порядка единицы. Полученное выражение есть константа, поэтому изменение в − G(0), обусловленное добавлением электрон-

ной петли в виртуальную фотонную линию, определяется умножением предыдущего результата (11.3.16) для − G(0) на фактор (11.3.17),

òàê ÷òî

(В т. II мы увидим, что это рассуждение есть упрощенная версия метода ренормруппы.) Формулу (11.3.18) можно сравнить с точным результатом расчета до четвертого порядка включительно 6:

Оказывается, что слагаемые порядка О(1) вносят величину −6,137 в коэффициент при e4/96π2, что немногим меньше, чем ln(mμ2/me2)

= 10,663, так что приближение (11.3.18) определяет вклад четвертого порядка с точностью до множителя порядка 2. Точный результат четвертого порядка (11.3.19) приводит к значению μμ = 1,00116546(e/2mμ),

что можно сравнить с результатом расчета до второго порядка включительно μμ = 1,001161(e/2mμ) и последним экспериментальным результатом 7 μμ = 1,001165923(e/2mμ).

Однако интеграл по x и y логарифмически расходится при x = 0 и y = 0, т. к. знаменатели содержат только слагаемые второго порядка по x и/или y, а в числителе есть слагаемые, содержащие только дифференциалы dx и dy. Можно проследить, что эта расходимость на самом деле возникает от обращения в нуль знаменателя [κ2 + m2x2 + q2y(x−y)]3 â (11.3.11) ïðè x = 0, y = 0 è κ = 0. Поскольку она происходит от области малых, а не больших κ, åå

называют не ультрафиолетовой, а инфракрасной расходимостью *. Подробно инфракрасные расходимости будут рассмотрены в гл. 13. Там будет показано, что инфракрасные расходимости в сече-

нии процессов типа электрон−электронного рассеяния, вроде тех,

которые возникают из-за инфракрасной расходимости в электронном форм-факторе F(q2), сокращаются, если наряду с упругим рассеянием рассматривать и испускание фотонов низкой энергии. Кроме того, как будет показано в гл. 14, при расчете радиационных поправок к энергетическим уровням атомов инфракрасная расходимость в F(q2) обрезается за счет того, что связанный электрон не находится строго на массовой поверхности свободной частицы. В данный момент продолжим вычисления, просто введя некоторую фиктивную массу фотона μ для того, чтобы обрезать инфракрасную

расходимость в F(q2), и оставим до гл. 14 обсуждение вопроса о том, как использовать полученный результат.

Если масса фотона равна μ, то знаменатель k2 − iε в формуле (11.3.1) следует заменить на k2 + μ2 − iε. В результате в выражениях, стоящих в знаменателях формул (11.3.3)−(11.3.7), (11.3.11), (11.3.20) и (11.3.22) под знаком третьей степени, добавится слагаемое μ2(1−x).

Тогда формула (11.3.23) заменится на

* В отличие от ультрафиолетовой расходимости эта расходимость есть проявление особенности Γμ(p, p′) как функции р и р′ на массовой оболочке р2

= m2, p′2 = m2. — Ïðèì. ðåä.

Теперь интеграл полностью сходится. Его можно выразить через функции Спенса, но получающийся результат не слишком прозрачен. Для целей гл. 14 будет достаточно вычислить поведение F(q2) при малых q2. Как уже известно, из тождества Уорда следует, что F(0) = = 1 − G(0) = 1 + e2/8π2, так что рассмотрим первую производную F′(q2) в точке q2 = 0. Как следует из (11.3.24), эта производная имеет вид

Вклад поляризации вакуума дается формулой (11.2.22) и равен

Опуская в (11.3.25) все слагаемые, пропорциональные степеням μ/m,

получаем *

где слагаемое 2/5 отвечает вкладу поляризации вакуума. С другой стороны, из формулы (11.3.13) следует, что G(q2) имеет конечную производную при q2 = 0

Полученные результаты удобнее всего выразить через зарядовый форм-фактор F1(q2), определенный в альтернативном представлении (10.6.15) вершинной функции:

* Интеграл по y тривиален. Интеграл по x проще всего вычисляется в пределе μ n m путем разделения области интегрирования на две части: от 0 до s, где μ/m n s n 1, è îò s äî 1.

Согласно формулам (1.6.17) и (10.6.18)

Его можно выразить через зарядовый радиус a, определенный поведением зарядового форм-фактора в пределе q2 → 0:

(Такое определение мотивируется тем, что среднее значение exp(iq×x)

по сферической оболочке радиуса а ведет себя при q2a2 n 1 êàê 1 - q2a2/6.) Зарядовый радиус электрона равен

В гл. 14 мы увидим, что для электронов в атомах роль массы фотона играет эффективное инфракрасное обрезание, много меньшее m, так что логарифм в формуле (11.3.33) большой по величине и отрицательный, и значение а2 положительно.

11.4. Собственная энергия электрона

Завершим эту главу вычислением собственно-энергетической функции электрона. Само по себе это вычисление не имеет прямых

экспериментальных приложений, однако некоторые результаты окажутся полезными в гл. 14 и т. II *.

Как и в разделе 10.3, определим i(2p)2[å*(p)]β,α как сумму всех

диаграмм с одной входящей и одной выходящей электронной линией, несущими импульсы р и дираковские индексы a è b, соответст-

венно, причем звездочка указывает, что исключаются диаграммы, которые становятся несвязными после разрезания какой-то одной внутренней электронной линии, и отброшены пропагаторы, отве- чающие двум внешним линиям. Тогда точный электронный пропагатор дается суммой

-i(2p)−4 S¢(p) = -i(2p)−4 S(p)

Сумма тривиально вычисляется, и в результате получаем:

В низшем порядке в å* дает вклад однопетлевая диаграмма,

изображенная на рис. 11.6. Этот вклад равен

или в более простой записи

* Заметим, что эту функцию называют также собственно-энергетической частью или массовым оператором электрона. — Прим. ред.

Рис. 11.6. Однопетлевая диаграмма для электронной собственно-энергети- ческой функции. Как обычно, сплошная линия изображает электрон, волнистая — фотон.

(Это выражение записано в фейнмановской калибровке; амплитуды с заряженными частицами, находящимися вне массовой поверхности, калибровочно неинвариантны.) Для последующих вычислений лэмбовского сдвига удобно воспользоваться методом регуляризации, предложенным Паули и Вилларсом 8. Заменим фотонный пропагатор (k2 − ie)−1 íà

так что электронная собственно-энергетическая функция станет равной

Позднее можно будет отбросить регуляризующее слагаемое, устремив регуляризующую массу m к бесконечности. В гл. 14 нас будет также интересовать случай m n me.

Используем прием Фейнмана для объединения знаменателей и вспомним, что gρgκgρ = −2gκ, à gρgρ = 4. Тогда