14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

y′′ =

1

, x = 4π , y (0) = 0 , y′(0) = 1.

cos

2 x

0

2

Ответ: 12,56.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

x ( y′′ + 1) + y′ = 0 .

Ответ: y = −

x2

+ C ln x + C

.

2

4

1

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + 2 y′ + y = 0 ;

б) y′′ + 6 y′ + 25 y = 0 ;

в) y′′ − 4 y′ = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ + 16 y = 8cos 4x .

Ответ: y = C1 cos 4x + C2 sin 4x + x sin 4x .

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ + 3y′ = (40x + 58)e2 x , y (0) = 0 , y′(0) = −2 .

Ответ: y = 4e−3x − 7 + (4x + 3)e2 x .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

yIY −16 y = 0 ,

y (0) = 0 , y′(0) = 2 , y′′(0) = 0 ,

y′′′(0) = 0 .

Ответ: y =

1

e2 x −

1

e−2 x +

1

sin 2x .

4

4

2

y′′ + 2 y′ + y = 3e− x

.

постоянных

x + 1

6

− x

− x

( x + 1)

5

+ 2 ( x + 1)

3

( x + 1)

3

Ответ: y =

−

+ C1

e

+

2

+ C2

xe

.

5

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = 4x − y,

y′ = −x + 4 y.

3t

+ C2e

5t

,

x = C1e

Ответ:

y = C e3t − C e5t .

1

2

y¢¢ = 2sin x cos2 x , x

= π , y (0) = -

5

,

y¢(

0) = -

2

.

0

2

9

3

Ответ: -1,00.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения,

допускающего

понижение порядка,

y′′ + 4 y′ = cos 2x .

Ответ: y =

1

sin 2x -

1

cos 2x -

C1

e−4 x + C2 .

10

20

4

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + 10 y′ = 0 ;

б) y′′ − 6 y′ + 8 y = 0 ;

в) 4 y′′ + 4 y′ + y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y¢¢ + 9 y = 9x4 +12x2 - 27 .

Ответ: y = C cos3x + C

2

sin 3x + x4 - 3 .

1

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ − 9 y′ + 18 y = 26cos x − 8sin x ,

y (0) = 0 ,

y′(0) = 2 .

Ответ: y = 2e6 x - 3e3x - sin x + cos x .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 ,

y (0) = 0 ,

y′(0) = 0 ,

y′′(0) =12 .

Ответ:

y = e2 x + 3e−2 x - 4e− x .

постоянных

Ответ: y = C1 cos x + C2 sin x + cos x × ln

tg

x

+ 2 .

2

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x = C + C e6t

,

1

2

1

1

e6t .

y = -

C +

C

4

1

2

2

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

y′′ + y′ = sin x .

Ответ: y = -

1

cos x -

1

sin x - C e− x

+ C

.

2

2

2

1

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + 5 y = 0 ;

б) 9 y′′ − 6 y′ + y = 0 ;

в) y′′ + 6 y′ + 8 y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y¢¢ -12 y¢ + 40 y = 2e6 x .

Ответ: y = e6 x (C cos 2x + C

sin 2x) +

1

e6 x .

2

1

2

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y¢¢ + 8 y¢ =18x + 60x2 - 32x3 , y (0) = 5 , y′(0) = -16 .

Ответ: y = 3 + 2e−8x - x4 + 3x3 .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ + 2 y′′ + 9 y′ + 18 y = 0 , y (0) =1, y′(0) = -3,

y′′(0) = -9 .

Ответ: y = cos3x − sin 3x .

7.

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных

y¢¢ - y¢ = e2 x × cos(ex ).

Ответ: y = C1 + C2ex - cos(ex ).

8.

б) с помощью характеристического уравнения.

x¢ = 5x + 8 y,

y¢ = 3x + 3y.

x = C e−t + C

e9t ,

Ответ:

1

2

3

C e−t

1

e9t .

y = -

+

C

4

1

2

2

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка, x2 y¢¢ = y¢2 .

Ответ: y = C x - C 2 ln ( x + C ) + C

2

.

1

1

1

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + 6 y′ + 10 y = 0 ; б) y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 ;

в) y′′ − 5 y′ + 4 y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y¢¢ + 4 y¢ = ex (24cos 2x + 2sin 2x) .

Ответ: y = C + C

e−4 x

+ 2ex sin 2x .

1

2

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ − 3y′ + 2 y = −sin x − 7 cos x , y (0) = 2 ,

y′(0) = 7 .

Ответ: y = ex + 2e2 x - cos x + 2sin x .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

yY

- 6 y IY

+ 9 y¢¢¢ = 0 , y (0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0 , yIY (0) = 27 .

Ответ: y =1 + 2x +

3

x2 - e3x + xe3x .

2

7.

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных

y¢¢ - y¢ = e2 x ×sin (ex ).

Ответ: y = C1 + C2ex - sin (ex ).

8.

Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x¢ = 3x + y,

y¢ = 8x + y.

= C1e

−t

+ C2e

5t

,

x

Ответ:

= -4C e−t + 2C

e5t .

y

1

2

y¢¢ = 2cos x sin2 x - cos3 x , x = π , y (0) =

2

, y′(0) = 2 .

0

2

3

Ответ: 3,47.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

2xy¢¢y¢ = y¢2 - 4 .

2

3

Ответ: y =

(C x + 4)

+ C

.

2

2

3C1

1

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ − y = 0 ;

б) 4 y′′ + 8 y′ − 5 y = 0 ;

в) y′′ − 6 y′ + 10 y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y¢¢ + 2 y¢ + y = 6e− x .

Ответ: y = C e− x

+ C

2

xe− x + 3x2e− x .

1

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y¢¢ + 2 y¢ = 6x2 + 2x - 2 , y (0) = 2 , y′(0) = 2 .

Ответ: y = 3 - e−2 x + x3 - x2 .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ + 2 y′′ + y′ = 0 , y (0) = 0 , y′(0) = 2 ,

y′′(0) = -3 .

постоянных,

y¢¢ + y = tg2 x .

x

+ p

tg

1

2

4

постоянных

y¢¢ + y =

2

.

sin2 x

x

- 2 .

ctg

2

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x¢ = -5x + 2 y,

- 6 y.

y¢ = x

x = C e−4t + C

e−7t ,

Ответ:

1

2

1

C e−4t - C e−7t .

y =

2

1

2

y′′ =

1

, x = 2 , y (1) = 3 , y′(1) = 1.

x2

0

Ответ: 4,31.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

y′′ctg x + y′ = 2 .

Ответ: y = 2x + C1 sin x + C2 .

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) 6 y′′ + 7 y′ − 3y = 0 ;

б) y′′ + 16 y = 0 ;

в) 4 y′′ − 4 y′ + y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

6 y′′ − y′ − y = 3e2 x .

x

−

x

1

Ответ: y = C e 2

+ C e 3

+

e2 x .

1

2

7

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′(0) = −5.

Ответ: y = 2e−2 x + e−3x − 5cos 2x + sin 2x .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

yIY + 5 y′′ + 4 y = 0 ,

y (0) = 0 , y′(0) = 4 , y′′(0) = −9 , y′′′(0) = −16 .

Ответ: y = 2sin 2x + 3cos 2x − 3cos x .

постоянных

y′′ + 2 y′ + 5 y =

e− x

.

sin 2x

Ответ: y =

−

x

+ C

e− x cos 2x +

1

ln

sin 2x

+ C

e− x sin 2x .

1

2

2

4

а)

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = 6x + 3y,

y′ = −8x − 5 y.

x = C e−2t

+ C

e3t

,

Ответ:

1

2

8

C e−2t − C

y = −

e3t .

3 1

2

y′′′ = cos 4x ,

x

= π , y (0) = 2 , y′(0) =

15

, y′′

(0) = 0 .

0

16

Ответ: 5,14.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

(1 + x2 ) y′′ = 2xy′ .

Ответ: y = C

x3

+ C x + C

.

3

1

1

2

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) 9 y′′ − 6 y′ + y = 0 ;

б) y′′ + 12 y′ + 37 y = 0 ;

в) y′′ − 2 y′ = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

2 y′′ + 7 y′ + 3y = −222sin 3x .

Ответ: y = C e−3x + C

−

x

+ 7cos3x + 5sin 3x .

e 2

1

2

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

Ответ: y = 3e−2 x − 2e2 x + 2xe2 x .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

yIY + 10 y′′ + 9 y = 0 ,

y (0) = 1, y′(0) = 3,

y′′(0) = −9 ,

y′′′(0) = −27 .

Ответ: y = cos3x + sin 3x .

постоянных

y′′ + 9 y =

1

.

cos3x

Ответ: y =

1

ln

cos3x

+ C

cos3x +

x

+ C

sin 3x .

1

2

9

3

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

−4t

12t

,

x = C1e

+ C2e

1

2