14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

Решение.

В данном случае ряд расходится, так как an+1 > 1 для всех п: an

1)ряд сходится, если р < 1;

2)ряд расходится, если р > 1.

Как и в признаке Даламбера, случай р = 1 требует дополнительного исследования.

Доказательство практически ничем не отличается от доказательства теоремы 10.5.1, поэтому его приводить не будем.

Пример 10.5.4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим радикальный признак Коши:

ТЕОРЕМА 1 0 . 5 . 3 (интегральный признак Коши). Пусть члены

∞

ряда ∑ an имеют вид an = f (n) , где f(x) – неотрицательная монотонно

n=1

∞

убывающая функция на промежутке [a, +¥), а ³ 1. Тогда ряд ∑ an схо-

n=1

дится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится (расходится) не-

собственный интеграл ∞∫ f ( x)dx .

a

201

т.е. расходится, то в соответствии с интегральным признаком Коши расхо- дится и заданный ряд.

Пример 10.5.6. Исследовать на сходимость обобщенный гармо-

интеграл расходится и, следовательно, ряд расходится.

дится, если р ≤ 1.

Заметим, что ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не решают вопрос о сходимости этого ряда, так как соответствующие пре- делы равны 1.

202

Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), а также ряд, состав- ленный из членов геометрической прогрессии, часто используются как «эталонные» ряды при применении обоих признаков сравнения.

10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

До сих пор мы рассматривали ряды, члены которых положительны. Сейчас будем рассматривать ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида

то ряд (10.6.1) сходится, его сумма положительна и не превосходит перво- го члена.

Таким образом, мы установили, что S2m при возрастании m возрас-

тает и ограничена сверху. Отсюда следует, что

lim S2m = S , причем 0 < S < a1.

m→∞

Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу S . Очевидно,

S2m+1 = S2m + a2m+1 .

Так как по условию (10.6.3) lim a2m+1 = 0 , то

m→∞

203

Тем самым мы доказали, что lim Sn = S как при четном n, так и при

n→∞

нечетном. Следовательно, ряд (10.6.1) сходится.

Замечание 1 0 . 6 . 1 . Теорема Лейбница справедлива, если нера- венства (10.6.2) выполняются, начиная с некоторого N.

Пример 10.6.1. Ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ... сходится, так как

2 3 4

теореме Лейбница, так как

1) 1 > 1 > 1 > 1 > ...;

Рассмотрим теперь остаток ряда rn = an+1 − an+2 + ..., представляю-

щий собой новый знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Тогда его сумма на основании теоремы удовлетворяет неравенству

204

10.7. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотренные в п.10.6 знакочередующиеся ряды являются, очевид- но, частным случаем знакопеременных рядов.

Дадим один важный достаточный признак сходимости знакопере- менного ряда.

т.е. знакопеременный ряд (10.7.1) сходится.

Доказанная теорема дает возможность судить о сходимости некото- рых знакопеременных рядов. Исследование вопроса о сходимости сводит- ся в этом случае к исследованию рядов с положительными членами.

где α − любой угол (в зависимости от α sin nα может иметь любой знак).

205

Решение. Рассмотрим два ряда:

Ряд (10.7.5) сходится, как ряд Дирихле (р = 3 > 1). Члены ряда (10.7.4) не больше соответственных членов ряда (10.7.5) (так как sin nα ≤ 1); следовательно, ряд (10.7.4) тоже сходится по первому призна-

ку сравнения. Но тогда в силу доказанной теоремы данный знакоперемен- ный ряд тоже сходится.

Заметим, что этот признак сходимости является только достаточным признаком сходимости, но не необходимым: существуют такие знакопере- менные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолют- ных величин их членов, расходятся.

гармоническим и, как известно, расходится.

В связи с этим полезно ввести понятие абсолютной и условной схо- димости знакопеременных рядов и на основе этих понятий классифициро- вать знакопеременные ряды.

Если же знакопеременный ряд (10.7.6) сходится, а ряд (10.7.7) расхо- дится, то данный ряд (10.7.6) называется условно, или неабсолютно, схо- дящимся рядом.

Таким образом, ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ... , рассмотренный в примере

2 3 4 10.7.2, условно сходящийся, а ряд (10.7.3) абсолютно сходящийся.

206

Пример 10.7.3. Знакопеременный ряд

1 − 1 + 1 − 1 + ... + (−1)n+1 1 + ...

2! 3! 4! n!

есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд из абсолютных величин его

1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ...,

как было показано в п.10.5 при помощи признака Даламбера, сходится.

10.8. Функциональные ряды. Область сходимости

Ряд u1 + u2 + ... + un + ... называется функциональным, если его члены являются функциями от х.

Рассмотрим функциональный ряд

Давая х определенные числовые значения, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящими- ся.

Определение 1 0 . 8 . 1 . Совокупность тех значений х, при ко- торых ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является неко- торой функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через S(x).

Пример 10.8.1. Рассмотрим функциональный ряд

1 + x + x2 + ... + xn + ...

Этот ряд сходится для всех значений х в интервале (-1, 1), так как он составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем

S ( x) = Sn ( x) + rn ( x),

где rn ( x) – остаток ряда. Очевидно,

rn ( x) = un+1 ( x) + un+ 2 ( x) + ...

207

Для всех значений х из области сходимости ряда имеет место соот-

ношение lim Sn ( x) = S ( x) , поэтому

n→∞

Дирихле), так как р = 2 > 1.

Непосредственно из определения следует, что ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках этой области.

Пусть имеем ряд из непрерывных функций

u1 ( x) + u2 ( x) + ... + un ( x) + ...,

сходящийся на некотором [a, b].

Как известно, сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Для суммы ряда, состоящего из бесконечного числа слагаемых, это свойство не сохраняется. Для мажорируемых рядов спра- ведлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1 0 . 8 . 1 . Сумма ряда непрерывных функций, мажори- руемых на [a, b], есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Мажорируемые ряды можно почленно интегрировать и дифферен- цировать, об этом подробнее в следующем разделе.

208

10.9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенных рядов

Функциональный ряд вида

n=0

членами которого являются степенные функции, называется степенным. Действительные числа Cn называются коэффициентами степенного ряда. Степенной ряд (10.9.1) всегда сходится, по крайней мере, при х = 0, а ряд

водится к виду (10.9.1), то в дальнейшем будем рассматривать степенные ряды (10.9.1).

ТЕОРЕМА 1 0 . 9 . 1 (теорема Абеля).

1. Если степенной ряд (10.9.1) сходится при некотором значении x0 ¹ 0 , то он абсолютно сходится при всяком значении х, удовлетворяю-

сходится, то из необходимого признака сходимости следует, что его общий

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

209

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

q < 1, т.е. для x < x0 .

Тогда по первому признаку сравнения ряд (10.9.5) тоже сходится, а это значит, что ряд (10.9.4) или (10.9.1) сходится абсолютно.

Пусть теперь ряд (10.9.1) расходится в точке х1. Предположим, что в некоторой точке х2, такой, что x2 > x1 , ряд сходится. Тогда по только что доказанному он должен сходиться и в точке х1, что противоречит ус-

ловию. Значит, для всех х, таких, что x > x1 , ряд расходится.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если х0 есть точка сходи-