Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

6. sec2 qtg jdq + sec2 jtg qdj = 0 . Ответ: tg θ tg ϕ = C .

Вариант 25

Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (част- ный интеграл) дифференциальных уравнений:

1. cos ydx = 21 + x2 dy + cos y1 + x2 dy .

tg p +

Ответ: 2ln

+ y = ln

x +

1 + x2

+ C ;

( y +1) y¢ =

+ xy .

Ответ: y + ln y = arcsin x +

+ C ;

1 - x2

( y2 - 2xy)dx - x2dy = 0 .

Ответ: y =

;

(1 - x2 ) y¢ + xy =1,

1 - Cx3

y (0) =1.

Ответ: y = x +

1 - x2 ;

y¢ + 2xy = 2x3 y3

Ответ: y =

− x2

;

2x2e−2 x2 + e−2 x2 + C

sec2 q × tg jdj + sec2 j × tg qdq = 0 .

Ответ: sin2 q + sin2 j = C .

Вариант 26

Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (част-

ный интеграл) дифференциальных уравнений:

y¢

1 - x2 - cos2 y = 0 .

Ответ: tg y = arcsin x + C ;

(1 + x2 ) y′ + y

1 + x2

1 + x2 = xy .

Ответ: y =

;

x +

1 + x2

( x + 2 y )dx + xdy = 0 .

Ответ: y =

−

;

y′ctg x − y = 2cos2 x ctg x , y (0) = 0 . Ответ: y =

6sin x − 2sin3 x

;

3cos x

′

− x

+ y = y2 .

Ответ: y = e

− 3 e

+ C ;

101

6. x cos y ( ydx + xdy ) = y sin y ( xdy − ydx) . Ответ: xy cos y = C .

Вариант 27

Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (част-

ный интеграл) дифференциальных уравнений:

ex tg ydx = (1 − ex )sec2 ydy .

Ответ: tg y =

;

(ex −1)

′

+ x2

− y

= 4ln

+ 2x + C ;

xyy

− y2 .

Ответ: 2 y


	(2x − y )dx + ( x + y )dy = 0 . Ответ:	1		y2 + 2x		2			+
3.			ln
3.			ln		2
		2		x	2
		2		x
4.	x2 y′ = 2xy + 3 , y (1) = −1.	Ответ: y = −					1	;
4.	x2 y′ = 2xy + 3 , y (1) = −1.	Ответ: y = −						;
							x

1	arctg	y	= ln	C	;

2		2x		x


5.	′	− y tg x + y	2	cos x = 0 .	Ответ: y =	1			;
						( x + C )cos x
	y
	xy2dy = (x3 + y3 )dx .				Ответ: y = x 3			.
6.							3ln Cx

Вариант 28

Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (част- ный интеграл) дифференциальных уравнений:

1.y′ + sin ( x + y ) = sin ( x − y ) .

2.( xy − x)2 dy + y (1 − x)dx = 0 .

3.2x3 y′ = y (2x2 − y2 ).

4.	y′ + 2xy = xe− x2 , y (0) = 0 .

5.	y′ +	2 y	=	2 y	.

		x		cos2 x

Ответ: ln tg y = C − 2sin x ; 2

Ответ:

− 2 y + ln

= ln

+ C ;

Ответ: y =

;

ln (Cx)

Ответ: y = 0,5x2e− x2

;

Ответ: y =

x tg x + ln

cos x

+ C 2

;

102

(t - S ) dt + tdS = 0 .

Ответ: te t = C .

Вариант 29

Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (част-

ный интеграл) дифференциальных уравнений:

cos3 y × y¢ - cos(2x + y ) = cos(2x - y ) . Ответ:

y +

sin 2 y = sin 2x + C ;

(x2 y - y )2

y¢ = x2 y - y + x2 -1. Ответ:

- y + ln

y +1

x -1

+ C ;

x +1

x2 y¢ = y ( x + y ) .

Ответ: y = -

;

ln (Cx)

y¢ - 3x

- x

= 0 , y (0) = 0 .

Ответ: y =

x e

;

y¢ - y + y

cos x = 0 .

Ответ: y =

2ex

;

ex (cos x + sin x) + C

- S )dt + tdS = 0 .

= C .

Ответ: te t

Вариант 30

Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (част-

ный интеграл) дифференциальных уравнений:

3y2 − x2

yy′

Ответ: 3− y2 = 3− x2

- 2C ln 3;

1 - y2 dx + y

1 - x2 dy = 0 .

Ответ:

1 - y2 = arcsin x + C ;

y¢ =

Ответ: y2 = x2 ln (Cx)2 ;

xy′ + y = ln x + 1,

y (1) = 0 .

Ответ: y = ln x ;

y¢ = x

Ответ: y =

(x2

-1)4 + C x2 -1 ;

-1

(8S +10t ) dt + (5S + 7t ) dS = 0 .

Ответ: (t + S )2 (2t + S )3 = C .

103

Уровень I I

Вариант 1

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(1 − x) dy + ( x + y − 2) dx = 0 .

Ответ: ln x −1 − y −1 = C . x −1

2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(0, −2), k = 3.

Ответ: y = −2e3x . 3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. А(0, 4).

Ответ: y = − 1 x2 + 4 . 16

4. Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорциональ- но пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на расстоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить пройденный путь и скорость тела через время Т после начала движения.

S0 = 5 м, v0 = 20 м/с, Т = 10 с.

Ответ: 45 м; 20 м/с. 9

Вариант 2

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(2x − y + 1)dx + (2 y − x −1)dy = 0 .

Ответ: x2 − xy + y2 + x − y = C . 2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(0, 5), k = 7.

Ответ: y = 5e7 x .

104

3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ) ,

если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. А(0, – 8).

Ответ: y = x2 − 8 . 32

S0 = 10 м, v0 = 20 м/с, Т = 2 с.

Ответ: 30 м; 20 м/с. 3

Вариант 3

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

( y + 2)dx − (2x + y − 4)dy = 0 .

Ответ: x + y −1 = C ( y + 2)2 . 2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке

равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(– 1, 3),	k = 2.
Ответ:	y = 3e2x+2 .
3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку	A( x0 , y0 ),

если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. А(0, 1).

Ответ: y = − x2 + 1. 4

4. Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на рас- стоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить прой- денный путь и скорость тела через время Т после начала движения.

S0 = 25 м, v0 = 10 м/с, Т = 10 с.

Ответ: 75 м; 10 м/с. 3

105

Вариант 4

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

( x + y + 1) dx + (2x + 2 y −1) dy = 0 .

Ответ: x + 2 y + 3ln x + y − 2 = C . 2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке

равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(–2, 4), k = 6.
Ответ:	y = 4e6 x+12 .
3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку	A( x0 , y0 ),

если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. А(0, – 3).

Ответ: y = x2 − 3. 12

S0 = 35 м, v0 = 40 м/с, Т = 50 с.

Ответ: ≈375,8 м; 3,7 м/с.

Вариант 5

1.Проинтегрировать дифференциальное уравнение

x+ y − 2 + (1 − x) y′ = 0 .

Ответ: ln x −1 − y −1 = C . x −1

2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке

равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А( – 2, 1),	k = 5.
Ответ:	y = e5x+10 .

3.Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 )

иобладающей следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную к кривой, равна абсциссе точки каса-

ния. А(2, 3).

	13	2		2		169
Ответ: x −			+ y		=		.
	4					16

106

S0 = 20 м, v0 = 15 м/с, Т = 10 с.

Ответ: 80 м; 3,75 м/с.

Вариант 6

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

( x + y + 2) dx + (2x + 2 y -1) dy = 0 .

Ответ: x + 2 y + 5ln x + y - 3 = C . 2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(3, –2), k = 4.

Ответ: y = −2e4x−12 . 3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку

A( x0 , y0 ) A( x0 , y0 ) и обладающей следующим свойством: длина перпенди-

куляра, опущенного из начала координат на касательную к кривой, равна абсциссе точки касания. А(– 4, 1).

	17	2		2		289
Ответ: x +			+ y		=		.
	8					64

S0 = 5 м, v0 = 20 м/с, Т = 3 с.

Ответ: 25 м; 4 м/с.

Вариант 7

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

x − 3y + 1

dx 2x + y + 2

x+1

arctg

Ответ: 2( x +1)2 + 3y2 × e 3

3 y = C .

107

2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ) ,

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. А(2, 5), n = 8.

Ответ: y = 5 x8 . 256

3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. А(1, – 2).

Ответ: ( x − 2,5)2 + y2 = 6,25 . 4. Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на рас- стоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить прой-

денный путь и скорость тела через время Т после начала движения.

S0 = 10 м, v0 = 15 м/с, Т = 4 с.

Ответ: 50 м; 6 м/с.

Вариант 8

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

( x + 2 y + 1)dx − (2x + 4 y + 3)dy = 0 .

Ответ: ln 4x + 8 y + 5 + 8 y − 4x = C . 2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку

с началом координат. А(3, – 1), n = 3 . 2

Ответ: y = − x x . 3 3

3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. А(– 2, – 2).

Ответ: ( x + 2)2 + y2 = 4 .

108

S0 = 15 м, v0 = 10 м/с, Т = 6 с.

Ответ: 45 м; 10 м/с. 3

Вариант 9

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

( x + 2 y + 1)dx − (2x − 3)dy = 0 .

Ответ: ln 2x − 3 − 4 y + 5 = C . 2x − 3

2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. А(– 6, 4), n = 9.

Ответ: y = −		x9
			.
	11664

3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. А(4, – 3).

Ответ: ( x − 3,125)2 + y2 = 3,1252 . 4. Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на рас- стоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить прой-

денный путь и скорость тела через время Т после начала движения.

S0 = 20 м, v0 = 10 м/с, Т = 15 с.

Ответ: 80 м; 2,5 м/с.

Вариант 10

1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

( x − y )dx + (2 y − x + 1)dy = 0 .

Ответ: x2 + y2 − xy + y = C . 2

109

2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ) ,

если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. А(– 8, – 2), n = 3.

Ответ: y = x3 . 256

3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку A( x0 , y0 ),

если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. А(5, 0).

денный путь и скорость тела через время Т после начала движения.

S0 = 15 м, v0 = 15 м/с, Т = 60 с.

Ответ: 165 м; 15 м/с. 11

Уровень I I I

1. Записать уравнение кривой, проходящей через точку (3, − 2) и об- ладающей следующим свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Оу, равен квадрату абсциссы точки касания.

Ответ: y = 7 x − x2 . 3

2. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(16; 0), если известно, что отрезок, отсекаемый касательной к кривой на оси орди- нат, равен полусумме координат точки касания.

Ответ: y = 4 x − x . 3. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(2; 2), ес- ли известно, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, лю-

бой касательной к кривой и ординатой точки касания, есть величина по- стоянная, равная 3.

Ответ: y = 2 + x2 . x 4

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf