Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>


Решение.	F = ma , a = x¢¢ =				d 2 x		; F = −kx + Asin ωt .
					dt 2

mx′′ + kx = Asin ωt	x¢¢ +	k	x =	A		sin wt – линейное неоднородное диф-

		m m

ференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем и решаем характеристическое уравнение.

l2 +

= 0

l2 = -

l = ±

(

> 0 по условию).

1,2

= C cos

t + C

sin

t .

одн

Правая часть

f (t ) =

sin wt . Рассмотрим два случая:

а) w ¹

, тогда

±βi = ±ωi

не являются корнями характеристиче-

ского уравнения, и частное решение следует искать в виде

xч = B cos ωt + C sin ωt .

Находим x ¢

= -Bwsin wt + Cwcos wt ,

x ¢¢

= -Bw2 cos wt - Cw2 sin wt и

подставляем в неоднородное уравнение

-Bw2 cos wt - Cw2 sin wt +

( B cos wt + C sin wt ) =

sin wt .

Приравнивая коэффициенты при cos ωt

и sin ωt слева и справа, по-

лучим систему двух уравнений с двумя неизвестными В и С:

cos ωt : −Bω2

sin ωt : −Cω2

+		k		B = 0,

		m
+	k		C =		A
						.


	m m

B = 0,					B = 0,
			A			A
k
	− ω2	C =		.	C =		.

			m			− mω2
m					k

Таким образом, xч =

x = C1 cos

		A	sin ωt ,
	k − mω2
	k	t + C	sin	k

m		2		m

а общее решение

t + A sin ωt . k − mω2

б) ω =	k	, тогда ±βi = ±ωi являются корнями характеристическо-

	m

го уравнения, и частное решение следует искать в виде xч = t ( B cos ωt + C sin ωt ) .

131

Найдем xч¢ = B cos wt + C sin wt + t (-Bwsin wt + Cwcos wt ) ,

xч¢¢ = −Bωsin ωt + Cωcos ωt − Bωsin ωt + Cωcos ωt + t (−Bω2 cos ωt − Cω2 sin ωt )

и подставим в исходное уравнение

-2Bwsin wt + 2Cwcos wt - t (Bw2 cos wt + Cw2 sin wt ) + mk t (B cos wt + C sin wt ) =

=	A	sin wt	(т.к. w2 =	k	)

	m			m

-2Bwsin wt + 2Cwcos wt - tw2 ( B cos wt + C sin wt ) + tw2 ( B cos wt + C sin wt ) =

=	A	sin wt -2Bwsin wt + 2Cwcos wt =				A	sin wt .
=		sin wt -2Bwsin wt + 2Cwcos wt =					sin wt .
	m					m
				A					A
		sin wt :	- 2Bw =		,			B = -		,
		sin wt :	- 2Bw =		,			B = -	2mw	,
				m					2mw
		cos wt :	2Cw = 0.
		cos wt :	2Cw = 0.					C = 0.

Таким образом,

= -

t × cos wt ,

а общее решение

2mw

x = C cos

t + C

sin

t -

t × cos wt .

2mw

Два студента у доски (параллельно) решают примеры:

а)

Найти

решение

дифференциального

уравнения

y′′ + y = 3sin x ,

удовлетворяющее краевым условиям:

y (0) + y′(0) = 0 , y

+ y¢

= 0 .

Ответ: y =

((p + 2)cos x - (p - 2)sin x) -

x cos x ;

б) Решить

уравнение

y′′ − y′ = ch 2x

при

начальных

условиях

y (0) = y′(0) = 0 .

Указание.

yч = Ach 2x + B sh 2x

хотя

можно

решать,

разбив

функцию ch 2x =

e2 x + e−2 x

на две:

( x) =

e2 x

( x) =

e−2 x

. (a = ±2

не являются корнями характеристического уравнения).

Ответ: y =

ch 2x +

sh 2x -

ex .

132

7. Студенты решают самостоятельно следующие примеры:


а) y′′ − 4 y = ch 2x .		Ответ: y = C1e2 x + C2e−2 x +						1	x sh 2x ;
а) y′′ − 4 y = ch 2x .		Ответ: y = C1e2 x + C2e−2 x +							x sh 2x ;
						4
				2 x	+ e	−2 x
Указание.	a	= ±2 ch 2x =	e		+ e		являются однократными
Указание.	a	= ±2 ch 2x =					являются однократными
					2
					2

корнями характеристического уравнения, поэтому yч = x ( Ach 2x + B sh 2x) .

б)	y¢¢ + 4 y = cos2 x .		Ответ: y = C cos 2x + C							sin 2x +			1	+	1	x sin 2x ;
б)	y¢¢ + 4 y = cos2 x .		Ответ: y = C cos 2x + C						2	sin 2x +				+		x sin 2x ;
					1				2	8				8
										8				8
	Указание.	cos2 x =	1	+	1	cos 2x .
	Указание.	cos2 x =		+	2	cos 2x .
		2			2
в)	yIY - y = xex + cos x .
	Ответ: y = C ex + C e− x + C cos x + C							sin x +			x	( x - 3)ex -					x	sin x .
	Ответ: y = C ex + C e− x + C cos x + C						4	sin x +				( x - 3)ex -						sin x .
		1		2	3		4			8				4
										8				4

Домашнее задание

1.Подготовка теоретического материала по теме «Решение систем дифференциальных уравнений».

2.Решить обучающую задачу 1 из предыдущего практического за- нятия YII с учетом трения цепи о крюк, если сила трения равна весу 1 м цепи.

Указание.

Fтр = -g ×1.

Ответ: T =

ln (17 +12 2 ) сек.

3. Решить задачу. Электрическая цепь состоит из последовательно

соединенных источника тока с эдс e(t ) = E sin wt , индуктивности L

и ем-

кости С, причем

w =

(случай резонанса). Найти ток

в цепи как

функцию времени t, если

t =0

= 0 .

Ответ: i =

t ×sin

Указание.

t =0

Дифференциальное уравнение цепи

d 2i

i = Ewcos wt .

dt2

4. Решить примеры:

а)

y′′ - 5 y′ + 6 y =13sin 3x .

Ответ: y = C1e2 x + C2e3x +

(5cos3x - sin 3x) ;

б)

y′′′ - y′ = -2x .

Ответ: y = C1 + C2ex + C3e− x + x2 .

133

IX. Решение систем дифференциальных уравнений

1.Краткий теоретический обзор с использованием лекционного ма- териала, графической схемы, информационной таблицы.

2.Обучающая задача 1 (решает преподаватель у доски). Не- которое вещество А разлагается на два вещества Р и Q. Скорость обра- зования каждого из них пропорциональна количеству неразложенного ве- щества. Пусть х и у – количество веществ Р и Q, соответственно, обра- зовавшихся к моменту времени t. Определить закон их изменений, зная,

что в начальный момент х = 0,			у = 0, а через 1 час x =	3	a ,	y =	1	a , где
что в начальный момент х = 0,			у = 0, а через 1 час x =		a ,	y =		a , где
			8			8
а – первоначальное количество вещества А.
Решение. В момент времени t скорости образования веществ Р
и Q будут:
	dx	= k (a − x − y ),
		= k (a − x − y ),
dt			1
			1

	dy		= k2 (a − x − y ),
			= k2 (a − x − y ),
dt

так как к этому моменту количество неразложившегося еще вещества А равно (а− х− у). Решим получившуюся систему двух линейных дифферен- циальных уравнений первого порядка методом исключения.

Дифференцируя первое уравнение, получим

d 2 x

= −k

dt 2

Подставим сюда

= k

(a − x − y ) , тогда

d 2 x

= −k

+ k

(a − x − y ) .

dt 2

Подставим в это уравнение у, найденное из первого уравнения системы,

− y =

+ x − a :

= −k

+ k

a − x +

k1 dt

dt 2

	dx
		+ x − a
	dt

= −k

= −(k

+ k

)

+ (k

+ k

)

= 0 .

dt2

dt k1

dt2

dt 2

Получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго по- рядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение

134

имеет

вид

l2 + (k

+ k

) l = 0

l(l + k + k

) = 0

λ = 0 ,

= -(k + k

) x = C + C

e−(k1 +k2 )t

= -(k + k

e−(k1 + k2 )t .

Тогда

y = -

- x + a =

k1 + k2

e−(k1 + k2 )t - C - C

e−(k1 +k2 )t + a =

k1 dt

= C

e−(k1 +k2 )t

e−(k1 +k2 )t - C - C

e−(k1 +k2 )t + a =

e−(k1 +k2 )t - C + a .

x = C + C

e−(k1 +k2 )t

e−(k1 +k2 )t - C .

Таким образом, решение системы

– y = a + k2 C

Определим С1 и С2, используя начальные условия x (0) = y (0) = 0 .

0 = C1 + C2 ,

0 = a + k2 C - C .

k 2 1

	=	k1a
C1				,

		k1 + k2
			k1a
C2 = -					.

			k1 + k2

Тогда x =

k1a

(1 - e

−(k1 +k2 )t

), y = a -

k1a

× e

−(k1 + k2 )t

k1a

+ k

k + k

= a -

k1a

k2a

× e−(k1 +k2 )t =

k1a + k2a − k1a

k2a

× e−(k1 + k2 )t =

k1 + k2

= k2a k1 + k2

k2a

× e

−(k1

+k2 )t

k2a

- e

−(k1

+k2 )t

то есть

k + k

+ k

2 )

x =

(1 - e−( 1 +

k a

k1 + k2

k2a

(1 - e−(k1 +k2 )t ).

y =

k1 + k2

Неизвестные коэффициенты k1 и

ловий задачи: при t = 1 x = 3 a , y = 1 a . 8 8

k2 найдем из дополнительных ус-

		a =	1		(1 - e−( 1		+	2 )	),
	3		k a			k	k	t
	8		k1 + k2
Имеем	1		k2a		(1 - e	−(k1	+k2 )t		).
	1	a =	k2a			−(k1	+k2 )t
	8	a =	k + k	2
			1	2

Разделим первое уравнение на второе:	k1	= 3 k	= 3k	2	, и тогда из вто-

	k2	1

135

k a

− e−4k2 )

(1 − e−4k2 )

= 1 − e−4k2

рого уравнения

4k2

e−4k2

−4k

= − ln 2

ln 2 . Тогда

ln 2 .

k + k

= ln 2

ek1 +k2 = 2 . Далее

. Поэтому

k1 + k2

4 k1 + k2

x =

a (1

− 2−t ) =

1 −

, y =

a (1

− 2−t )

−

а)

б)

3. Два студента у доски (параллельно) решают системы:

		= 4 y − 5 y					+ 4x + 1,
y ′		= 4 y − 5 y			2		+ 4x + 1,					(0) = 1,					y				(0) = 2 .
Решить задачу Коши	1	1			2				y			(0) = 1,					y		2		(0) = 2 .
	′	= y1 − 2 y2				+ x.				1									2
	′
y2
									y =				11	e− x −				5				e3x − x −					4	,
									y =				4	e− x −								e3x − x −						,
									1				4				12								3
						Ответ:						=	11			− x	−			1				−	2
													11			− x				1			3x		2	.
									y2						e							e
									y2				4		e							e			3
													4				12								3
		x		′		= x − x ,
			1				1		3
Найти общее решение системы x				′ = x ,
			2				1
				′ = x − x .
		x		′ = x − x .
			3				1		2
			x = C et + C							2	cos t + C sin t,
						1	1			2							3
	Ответ: x						= C et + C sin t − C cost,
						2	1			2							3
			x				= C	2	(cost + sin t ) + C											(sin t − cost ).
						3		2									3

4. Обучающий пример

(решает преподаватель у доски). Ре-

шим пример б) другим способом.

Частные решения

х1, х2,

х3

будем ис-

кать в виде

= α ekt ,

x = α

ekt ,

= α ekt

. Для нахождения k

получим

характеристическое уравнение

1 − k

−1

(1 − k )

−k 0

−k

0 − k

= 0

− 0 −1

= 0

−1

0 − k

−1 −k

−1

k 2 (1 − k ) − (−1 + k ) = 0 (1 − k )(k 2 + 1) = 0 k1 = 1, k2 = i, k3 = −i.

136

При k1 = 1 для определения a1, a2, a3

получаем систему:

0 × a1 + 0 × a2 - a3 = 0,

-a3 = 0,

= 0,

× a -1

× a

+ 0 × a

= 0,

a - a

a1 - a2 = 0.

a1 = a2 =1.

× a1 -1× a2 -1× a3 = 0.

a1 - a2 - a3 = 0.

По сути дела мы нашли собственный вектор (1,1,0) для k1 = 1.

При l = i получаем систему уравнений:

= (1 - i )a ,

(1 - i ) a1 - a3 = 0,

= (1 − i)α1,

α3

a - ia

= 0,

a ,

= -ia ,

a1 - a2 - ia3 =

a1 - i (1

- i )a1 = 0.

(1 + i - i + i2 ) = 0.

(1 - i )a ,

Пусть a1 = 1, тогда a2 = –

a3 = 1 – i.

a2 = -ia1,

a × 0 = 0.

Итак, имеем второй собственный вектор (1, − i, 1 - i).

Значению k1 = 1

соответствуют решения

= et ,

= 0 .

Значению

соответствуют решения (по

формуле

Эйлера

e(α+βi)x = eαx (cosbx + i sin bx) ):

1× eit = cost + i sin t , -ieit

= -i (cos t + i sin t ) = sin t - i cost ,

(1 - i)eit = (1 - i)(cos t + i sin t ) = (cost + i sin t ) + i (sin t - cost ).

(При l = - i

получается аналогичный результат).

Отделяя действительные части, получим решения

x12 = cos t ,

x22 = sin t ,

x32 = cost + sin t .

Отделяя мнимые части, получим решения

x13 = sin t ,

x23 = − cost ,

x33 = sin t − cos t .

x = C et

+ C

cos t + C sin t,

Общее решение системы будет x

= C et

+ C sin t - C cost,

(sin t - cost ).

= C

(cost + sin t ) + C

Замечание. Решение примера, когда все корни характеристиче- ского уравнения являются действительными различными числами, показа- но в теоретической части модуля 9.

137

а)

б)

5. Два студента у доски решают примеры:

x		′	= 7x + 3x ,
	1		1	2
		′	= 6x1 + 4x2.

x2
y		′	= −7 y	+ y	2	,
	1		1
		′	= −2 y1 − 5 y2.

y2

						x = −			1	C et + C		e10t	,
						x = −				C et + C		e10t	,
						1		2		1	2
				Ответ:				2
						x = C et + C					e10t .
						2		1		2
y = e−6 x (C cos x + C					2	sin x),
	1		1		2
Ответ:			= e−6 x (C	(cos x − sin x) + C				(cos x + sin x)).
y		2	= e−6 x (C	(cos x − sin x) + C			2	(cos x + sin x)).
		2	1				2

Домашнее задание

1. Найти общее решение, не пользуясь методом исключения

	dx1	= 8x − x ,					= 2C e	3t		− 4C	−3t

				2 1							e ,
					x
dt					Ответ:	1	1			2
dx2			= x1	+ x2.	x = C e3t				+ C e−3t .
						2	1			2
	dt

2. Методом исключения найти общее решение следующей системы:

y ′

= −5 y + 2 y

+ ex ,

y1 = 2C1e

−4 x

− C2e

−7 x

−2 x

′

= y1 − 6 y2 + e

−2 x

Ответ:

= C e

−4 x

+ C

−7 x

−2 x

y1′ = y2 ,

3.Решить задачу Коши для системы: y2′ = y3,

′ =

y y .

3 1

y	(0) = y	2	(0) = y	(0) = 1.	Ответ: y	= y	2	= y = ex .
1		2	3		1		2	3

Трехуровневые тестовые задания к разделу « Дифференциальные уравнения высших порядков»

Могут быть использованы для индивидуальных заданий на практи- ческих занятиях, индивидуальных домашних заданий, а также для выпол- нения внеаудиторной контрольной работы (типового расчета, расчетно- графической работы), если она предусмотрена рабочим учебным планом для данной специальности.

138

Уровень I

Вариант 1

1. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции y = ϕ( x) при x = x0 с точностью до двух знаков после запятой.

	y′′′ = sin x ,	x = π , y (0) = 1, y′(0) = 0 ,		y′′(0) = 0 .
		0	2
			2		Ответ: 1,23.
					Ответ: 1,23.
2.	Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего
понижение порядка,		(1 − x2 ) y′′ − xy′ = 2 .
			Ответ: y = arcsin2 x + C arcsin x + C				2	.
					1		2
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
	а) y′′ + 4 y = 0 ;		б) y′′ −10 y′ + 25 y = 0 ;	в) y′′ + 3y′ + 2 y = 0 .
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ + y′ = 2x −1.
			Ответ: y = C + C			e− x + x2 − 3x .
				1	2
5.	Найти частное решение дифференциального уравнения
	y′′ − 2 y′ + y = −12cos 2x − 9sin 2x , y (0) = −2 , y′(0) = 0 .
			Ответ: y = −2ex − 4xex + 3sin 2x .
6.	Найти частное решение дифференциального уравнения
	y′′′ − 7 y′′ + 6 y′ = 0 , y (0) = 0 , y′(0) = 0 ,			y′′(0) = 30 .
			Ответ: y = 5 − 6ex + e6 x .
7.	Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

′′

постоянных

− y = ex + 1 .

(ex

Ответ: y =

−

)	1	− x
)	1
+ 1	+ C	e

+1 ln

ex + 1

+ C ex .

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а)	сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б)	с помощью характеристического уравнения.
	x′ = 2x + y,

	y′ = 3x + 4 y.
			5t	t		,
	x = C1e			+ C2e		,
	Ответ:				et .
	y = 3C e5t − C				et .
		1		2

139

Вариант 2

y′′′ =

= 2 ,

y (1) =

y′(1) = y′′(1) = 0 .

Ответ: 0,38.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

′

′′

= y

′2

−1.

2xy y

Ответ: 9C12 ( y − C2 )2 = 4(C1x + 1)3 , y = ±x + C .

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ − y′ − 2 y = 0 ;

б) y′′ + 9 y = 0 ;

в) y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ − 2 y′ + 5 y = 10e− x cos 2x .

Ответ: y = ex (C cos 2x + C

sin 2x) +

e− x (cos 2x − 2sin 2x).

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ − 6 y′ + 9 y = 9x2 − 39x + 65 , y (0) = −1, y′(0) = 1.

Ответ: y = −6e3x + 22xe3x + x2 − 3x + 5 .

Найти частное решение дифференциального уравнения

yY − 9 y′′′ = 0 , y (0) = 1,

y′(0) = −1, y′′(0) = 0 , y′′′(0) = 0 , yIY (0) = 0

Ответ: y = 1 − x .

7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных	y′′ + 4 y =		1		.
		cos 2x

	Ответ: y =		1	ln		cos 2x	+ C


			4				1

	1
cos 2x +		x + C2 sin 2x .

2

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а)	сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б)	с помощью характеристического уравнения.
	x′ = x − y,

	y′ = −4x + y.
		3t	+ C2e	−t	,
	x = C1e		+ C2e		,
	Ответ:					e−t .
	y = −2C e3t + 2C					e−t .
		1			2

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf