Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3326 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

здесь Сп – коэффициент при хп степенного ряда

∞

C0 + C1x + C2 x2 + ... + Cn xn + ... = ∑ Cn xn .

n=0

Внутри интервала (-R, R) сходимость должна быть абсолютной. На концах интервала (при х = -R и х = R) получившийся числовой ряд ис- следуется дополнительно.

3. Обучающий пример 1.

Найти область сходимости ряда

∞

(-1)n+1

∑

n3 ×5n

n=1

Решение.

(-1)n+1

Cn+1

n3 ×5n

(n +1)3 ×5n+1

(n +1)3

R = lim

lim

5 lim

= 5 .

Cn+1

n→∞

→∞ n3

n→∞ n3

Положим х = -5, имеем числовой ряд

(-1)2n+1

∞

n+1 (-5)n

∞

n+1 5n ×(-1)n

∞

∑(-1)

= ∑(-1)

= ∑

= -∑

n3 ×5n

n=1

n=1 n3

который сходится как ряд Дирихле (р = 3 > 1). Значит, при х = -5

ряд аб-

солютно сходится.

∞

(

-1)

n+1 5n

∞

(-1)n+1

Пусть

х = 5, имеем ряд

∑

. Ряд из его аб-

n3 ×

∞

n=1

солютных величин

∑

сходится (р = 3 > 1), поэтому при

х = 5 сте-

n=1 n

пенной ряд тоже сходится абсолютно.

Итак, отрезок [– 5, 5] является областью сходимости данного ряда.

Обучающий пример 2.

Исследовать сходимость ряда

1!( x - 5) + 2!( x - 5)2 + 3!( x - 5)3 + ...

∞

Cn = n!,

Решение.

Пусть

Х = х - 5, имеем ряд

∑ n!X n . Здесь

n=1

Cn+1 = (n +1)!,

R = lim

= lim

= 0 .

Ряд

сходится

Cn+1

→∞

n→∞ (n +1)! n→∞ n

только при Х = 0, т.е. при х – 5 =0,

х = 5.

251

Обучающий пример 3. Исследовать сходимость ряда

1 +

+ ...

102

103

Решение. Ряд составлен из членов геометрической прогрессии со

знаменателем q =

. Как известно, он сходится, если

<1, и расходится,

<10

< 3

³1. Следовательно,

если

-3

< x < 3

(-3

)

, т.е.

10,

– область сходимости данного ряда.

4. Два студента у доски (параллельно) решают следующие примеры: Найти области сходимости степенных рядов:

а)

б)

в)

x -

+ ... +

(-1)n+1

+ ...

Ответ: (– 1, 1),

при х = 1

ряд сходится условно;

ln 2

ln 3

+ ...

ln (n +1)

n+1

+ ...

n +1

Ответ: (– 1, 1),

при х = -1

ряд сходится условно;

( x - 2) +

( x - 2)2 +

( x - 2)3 + ...

Ответ: 1 ≤ x ≤ 3 .

5. Заметим, что в формулах для нахождения радиуса сходимости Сп – это коэффициент при хп. Если же дан ряд по степеням, например, х2п, х2п+1 и других, то радиус сходимости может быть найден неверно (смотри соот- ветствующий пример в теоретической части модуля).

Обучающий пример 4

(решает преподаватель у доски). Ис-

∞

n(n−1)

следовать сходимость ряда

∑

n=1

Решение.

Рассмотрим

ряд

из абсолютных

величин и применим

n(n−1)

(n+1)n

признак Даламбера, полагая

an+1

. Тогда

(n +1)!

(n+1)n

£1,

an+1

при

p = lim

= lim

n→∞

n→∞ (n

+1)!

n(n−1)

n→∞ (n +1)

при

>1.

Итак, ряд сходится на отрезке [– 1, 1],

где р = 0 < 1.

252

Пример

(решает студент у доски). Исследовать сходимость ряда

∞

∑

( x - 2)2n .

n=1 2n +1

Ответ: (2 -

2, 2 +

Обучающий пример 5

(решает преподаватель у доски). Найти

сумму ряда 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...,

продифференцировав

почленно

ряд

1 + x + x2 + x3 + ... (

<1) .

S =

Решение.

Последний ряд имеет сумму

, т.е.

- q

1 - x

1 + x + x2 + x3 + ... =

1 - x

Ряд слева (как степенной ряд) мажорируем в интервале (-1, 1), поэтому его можно почленно дифференцировать

1 + 2x + 3x

+ 4x

+ ... =

(1 - x)2

интервал сходимости при этом не изменяется, т.е. -1< x < 1.

Пример

(решает студент

у доски).

Найти сумму ряда

x +

+ ... , проинтегрировав почленно ряд

1 + x + x2 + x3 + ... ( x <1) .

Ответ: -ln (1 - x) .

Домашнее задание

1.Изучить по теоретической части модуля материал к следующему практическому занятию по теме «Ряды Тейлора и Маклорена и их прило- жения».

2.Решить следующие примеры.

Найти области сходимости степенных рядов:

а)

x -

+ ... + (-1)n+1

x2n−1

+ ...

Ответ: (– ¥, ¥);

3 ×3!

(2n -1)(2n -1)!

∞

2n × xn

б)

∑

Ответ:

, при x = -

условно сходится;

n=1 3n ×

253

∞

(−1)n

( x − 2)

в)

∑

Ответ: (0, 4), при х = 4 условно сходится;

n=1

n + 1

∞

(nx)n

−

, при x = −

г)

∑

Ответ:

условно сходится.

n=1

Указание. При исследовании сходимости на концах интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть приближенно выраже- ны формулой Стирлинга

n n

2πn .

д)

Найти сумму ряда x +

+ ..., проинтегрировав ряд 1 + x2 + x4 + ...

x + 1

(

< 1 .

(

)

(

< 1 .

Ответ: S

)

x −1

)

VI. Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения

1. Преподаватель у доски выписывает ряды Тейлора и Маклорена,

формулу для остаточного члена, разложения в ряды функций ex , sin x , cos x, а также биномиальный ряд и его частные случаи.

f (a) + f ′(a)( x − a) +

′′

(a)

( x − a)2 + ... +

(n)

(a)

( x − a)n + ...

(1)

Rn ( x) = f (n+1) (C ) ( x − a)n+1 = f (n+1) (a + θ( x − a)) ( x − a)n+1 ,

(n + 1)!

где С находится между х и а,

0 < θ < 1 (в форме Лагранжа).

′′

(n)

f ( x) = f (0) + f ′(0) x +

(0)

+ ... +

f (0)

xn + ...

(2)

ex = 1 + x +

+ ... +

+ ...

(−∞ < x < ∞)

(3)

x2n−1

sin x = x −

− ... + (

−1)n+1

+ ...

(−∞ < x < ∞)

(4)

(2n −1)!

cos x = 1 −

− ... + (−1)n

x2n

+ ...

(−∞ < x < ∞)

(5)

(2n)!

254

(1 + x)m = x + mx +

m(m -1)

x2 +

m(m -1)(m - 2)

x3 + ... +

m(m -1) ×...× (m - (n -1))

xn + ...

(-1 < x <1)

(6)

=1 - x + x2 - x3 + ... + (-1)n xn + ...

(-1 < x <1)

(7)

1 + x

=1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ...

(-1 < x <1)

(8)

1 - x

=1 +

x -

x2 +

1×3

x3 -

1×3 ×5

x4 + ... (-1 £ x £1)

1 + x

(9)

× 4

× 4 ×

× 4 × 6 ×8

=1 -

x +

1×3

x2 -

1×3 ×5

x3 + ...

(-1 < x £1) (10)

1 + x

2 × 4

2 × 4 × 6

Ряд (6) называется биномиальным, на концах интервала сходимости

он ведет себя по разному: при т ³ 0

он абсолютно сходится в точках

х = ± 1; при

-1< m < 0

расходится в точке

х = -1

и условно сходится в

точке х = 1;

при т £ -1

расходится в точках х = ±1.

В теоретической части модуля показано, что для всех этих рядов

lim Rn ( x) = 0 в области сходимости.

n→∞

2. Преподаватель у доски решает

Обучающий пример 1.

Разложить функцию f ( x) = sin 2x в ряд

Тейлора по степеням

x - p

Решение.

1) решим сначала этот пример, используя формулу (1).

a = π ,

f (a)

= f p

= sin p =1;

f ¢( x) = 2cos 2x ,

f ¢(0) = 2cos π = 0 ;

f ¢¢( x) = -22 sin 2x ,

f ¢¢(0) = -22 ;

f ¢¢¢( x) = -23 cos 2x ,

f ¢¢¢(0) = 0 ;

f IY ( x) = 24 sin 2x ,

f IY (0) = 24 ;

……………………………………..

255

Имеем

π 2

π 4

22n

π 2n

sin 2x = 1 −

x −

− ... + (−1)

x −

+ ...;

(2n)!

2) решим этот пример, используя известное разложение cos x в ряд

Маклорена.

sin 2x = sin 2

−

x −

= sin

2 x

= cos 2 x −

4 4

cos x = 1 −

− ... + (−1)n

x2n

+ ...

(−∞ < x < ∞).

(2n)!

Пусть x = 2 x − π

в левой и правой части этого равенства, тогда

sin 2x = cos 2 x − π =

= 1 −

x − π 2

x − π 4 − ... + (−1)n

22n

x − π

2n + ... ,

(2n)!

причем −∞ < 2 x − π < ∞ −∞ < x < ∞,

т.е. область сходимости не из-

менилась.

3. Два студента у доски (параллельно) решают:

Пример 1.

Разложить функцию

y = ln x в ряд Тейлора в окрест-

ности точки х0 = 1.

Ответ: ln x = ( x −1) − ( x −1)2

+ ( x −1)3

− ... + (−1)n+1 ( x −1)n

+ ...

Пример 2 . Разложить в ряд Маклорена f ( x) = ch x .

x2n

Ответ: ch x = 1 +

+ ... +

+ ...

(2n)!

Пример 3 . Найти первые пять членов ряда Маклорена функции

y = ecos x .

	Ответ: e 1 −	x2
	Ответ: e 1 −
		2
		2

+ x4 −

... .

6

256

Пример 4 . Используя

известные разложения, разложить

ряд

Маклорена функцию y = cos2 x .

Указание. cos2 x =

(1 + cos 2x) .

(2x)

(-1)

n+1 2

2n−1

× x

Ответ:

2 × 4! + ... +

(2n)!

1 - x

... .

4. Решить самостоятельно следующие примеры:

Пример 1 . Разложить функцию

y = sin πx

в ряд Тейлора в окре-

стности точки х0 = 2.

p 2

( x - 2)2

+ ... + (-1)

n+1

p 2n−2 ( x - 2)2n−2

+ ...

Ответ: 1 -

(2n - 2)!

Пример 2 . Разложить в ряд Маклорена функцию

f ( x) = sh x .

x2n−1

Ответ: sh x = x +

+ ... +

+ ...

(2n -1)!

Пример 3 . Найти первые пять членов ряда Маклорена функции y = ex ×sin x .

Ответ: x + x2 +

2x3

4x5

+ ...

Пример 4 . Используя известные разложения, разложить в степен-

ной ряд по степеням х функцию y = ( x - tg x)cos x .

Ответ: -

2x3

4x5

- ... + (-1)n

2nx2n+1

+ ...

(2n +1)!

5. Как уже было показано ранее, для разложения функций в степен-

ные ряды можно использовать известные разложения и теоремы о почлен- ном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

Обучающий пример 1. Разложить в ряд Маклорена y = ln (10 + x).

257

ln (10 + x)

Решение.

= ln10 1

= ln10 + ln 1

Используем ряд (7)

=1 - x + x2 - x3 + ... + (-1)n xn + ...

(-1 < x <1) .

1 + x

Положим

x =

, тогда

=1 -

x 2

- ... + (-1)n

+ ...

102

1 +

10n

-1 <

-10 < x <10 .

Интегрируя последний ряд, получим

(-1)

xn+1

10ln 1 +

= x -

- ... +

+ ...

10 × 2

10n (n +1)

102 ×3

(интервал сходимости (– 10, 10) при этом не меняется). Таким образом,

ln (10 + x) = ln10 +	x	-		x2	+	x3	- ... + (-1)n	xn+1	+ ...
								10n+1 (n +1)
10			102 × 2 103 ×3

(–10 < x < 10).

6.Студент у доски решает

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена arctg x.

Ответ: x - x3 + x5 - x7 + ...

3 5 7

7. Так как приложение рядов Тейлора и Маклорена к приближенно- му вычислению значений функции и определенных интегралов достаточно подробно (с соответствующими примерами) освещено в теоретической части модуля, остановимся только на применении степенных рядов к на- хождению приближенных решений дифференциальных уравнений.

Обучающий пример 1 (решает преподаватель у доски). Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциаль-

ного уравнения y¢ = x2 + y2 , если у(1) = 1.

258

Решение. Решение ищем в виде ряда Тейлора

y = y (1) + y¢(1) ( x -1) + y¢¢(1) ( x -1)2 + y¢¢¢(1) ( x -1)3 + ...

По условию у(1) = 1, из самого уравнения

y¢(1) =12 +12 = 2 . Диф-

ференцируя исходное уравнение, получаем

y′′ = 2x + 2 y × y′ ,

y′′(1) = 2 ×1 + 2 ×1× 2 = 6 ,

y¢¢¢ = 2 + 2 y¢2 + 2 yy¢¢ ,

y′′′(1) = 22 ,

yIY = 4 y¢× y¢¢ + 2 y¢y¢¢ + 2 y × y¢¢¢,

yIY (1) =116

и т.д.

В результате, частное решение найдено в виде

y ( x) =1 + 2( x -1) +

6( x -1)2

( x -1)3 +

116

( x -1)4 + ... =

=1 + 2( x -1) + 3( x -1)2 +

( x -1)3 +

( x -1)4 + ...

8. Два студента у доски (параллельно) решают

Пример 1. Найти первых шесть членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y¢¢ - (1 + x2 ) y = 0 , y (0) = -2 ,

y′(0) = 2 .

Ответ: y = -2 + 2x - x2 + 1 x3 - 1 x4 + 7 x5 + ...

3 4 60

Домашнее задание

1. Найти первые пять членов ряда Маклорена функции y = ln (1 + ex ).

Ответ: ln 2 +

+ ...

192

2. Разложить функцию y =

в ряд Тейлора в окрестности точки х = 3.

Ответ:

x - 3

+ ( x - 3)2

- ... + (-1)n+1 ( x - 3)n−1

+ ...

259

Пользуясь известными формулами разложения в ряд Маклорена,

разложить в окрестности а = 0, следующие функции:

y = e2 x .

(2x)2

(2x)n−1

а)

Ответ: 1 + 2x +

... + (n -1)! + ... ;

б)

y = sin

Ответ:

+ ... + (-1)n+1

x2n−1

+ ... ;

22n−1 ×(2n -1)!

23 ×3!

в)

y = x ln (1 + x) .

Ответ: x2 -

+ ... +

(-1)n+1

xn+1

+ ...;

Функцию y = ln (x +

) разложить в ряд Маклорена исходя

г)

1 + x2

из соотношения ln (x +

1 + x2 ) = ∫

и указать интервал сходимости

1 + x2

полученного ряда.

Ответ: x -

1×3

- ...

(-1 £ x £1) .

2 3

2 × 4 5

Вычислить приближенное

значение

определенного

интеграла,

взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд, указать по-

	3 cos x
грешность вычислений	∫		dx .

	π	x
	6


Ответ: 0,3230;	погрешность d = 0,0001.
5. Найти первые пять членов разложения решения дифференциаль-
ного уравнения в степенной ряд: y′′ = y cos x + x ,	y (0) =1,				y′(0) = 0 .
Ответ: y ( x) =1 +		x2	+	x3	+	x5	-	5x6	+ ...

	2!		3!		5!		6!

6. Подготовиться к выполнению контрольной работы на следующем практическом занятии.

VII. Контрольная работа по теме « Ряды»

Студенты в обязательном порядке выполняют соответствующий вари- ант I уровня теста, каждая задача оценивается в 1 балл. По желанию можно решать задачи II уровня (каждая по 2 балла) и III уровня (3 – 5 баллов).

260

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3326 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб39умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб42умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб40умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб33умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб40умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб77умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf