умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рис. 10.17.1

Рис. 10.17.2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

а формула (10.16.1) примет вид

f ( x) =

∞

+ ∑

a cos

x + b

sin

n=1

ℓ

Если f(x) - четная функция, то

bn = 0, a =

ℓ f ( x)dx ,

ℓ f

( x)cos

x dx ;

ℓ

∫

ℓ

∫

ℓ

если же f(x) - нечетная функция, то

а0 = 0,

аn = 0,

b =

ℓ

f ( x)sin

x dx .

∫

ℓ

Пример 10.16.1.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

f(x) с периодом 2ℓ, которая на [-ℓ,ℓ]

задается равенством f ( x) =

ℓ

−3ℓ	−2ℓ	−ℓ	0	ℓ	2ℓ	3ℓ	4ℓ	х

Решение. Все условия теоремы Дирихле выполняются. Так как

функция четная, то bn = 0,

a =

ℓ

( x)dx =

ℓ x dx =

ℓ

= ℓ,

∫

ℓ

∫

ℓ 2

ℓ

f ( x)cos

ℓ

u = x,

dv = cos

x dx

a =

x dx =

ℓ

∫

x cos

ℓ

du = dx, v =

ℓ

sin

ℓ

ℓ 2

ℓ

x ×sin

∫sin

x dx

0 +

cos

x dx

ℓ

231

			4ℓ
=	2ℓ	(cos np -1) = -
	2ℓ		n2 p2
	n2p2		n2 p2
	n2p2
		0

при n нечетном,			ℓ
	= -		4	.
при n четном	= -	p2	(2n -1)2	.
при n четном

			ℓ		4ℓ	∞	cos(2n -1) × p x
Следовательно,	x	=		-		∑	ℓ	=

			2		p2		(2n -1)2
						n=1

ℓ

4ℓ

x + 2 cos

x + ... +

cos

(2n -1)

ℓ

× cos(2n -1)	p
	p
	ℓ x + ...
	ℓ x + ...	.

	ℓ		4ℓ	∞	1	∞	1		p2
Пусть х = 0, 0 =		-		∑		∑		=	.
Пусть х = 0, 0 =		-	p2	∑	(2n -1)2	∑	(2n -1)2	=	.
	2		p2	n=1	(2n -1)2	n=1	(2n -1)2		8

10.17. О разложении в ряд Фурье непериодических функций

Пусть функция f(x) задана на [0, p]. Чтобы разложить f(x) на этом отрезке в ряд Фурье, доопределим ее на отрезке [-p, 0]. В результате по- лучим функцию, заданную на всем отрезке [-p, p], которую уже можно разложить в ряд Фурье. Ясно, что получившийся ряд будет зависеть от ха- рактера продолжения первоначальной функции на [-p, 0]. Рассмотрим два возможных случая.

1.Если продолжить (доопределить) f(x) четным образом с отрезка [0, p] на отрезок [-p, 0] (рис. 10.17.1), то получим четную функцию, кото-

рая, как известно, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам.

2.Аналогично, продолжая f(x) нечетным образом с отрезка [0, p] на отрезок [-p, 0] (рис. 10.17.2), получим нечетную функцию, разлагающую-

ся в ряд Фурье только по синусам.

232

Вопросы к экзамену по модулю 10

1.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.

2.Простейшие действия над рядами. Необходимый признак сходи- мости. Гармонический ряд.

3.Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения.

4.Признаки сходимости Даламбера и Коши.

5.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

6.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

7.Функциональные ряды. Область сходимости.

8.Степенные ряды. Теорема Абеля.

9.Интервал и радиус сходимости степенных рядов.

10.Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

11.Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложения

функций.

12.Разложение в ряд Маклорена ex , sin x, cos x, (1 + x)m .

13.Приложения рядов к приближенному вычислению значений функций и определенных интегралов.

14.Приложения рядов к решению дифференциальных уравнений.

15.Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Теорема Дирихле.

16.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций, заданных на (−π, π).

17.Разложение в ряд Фурье 2ℓ-периодических функций.

18.О разложении в ряд Фурье непериодических функций.

233

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Учебно-информационный блок для проведения практических занятий

							Кол-
Тема занятия				Тип занятия			во ча-
							сов

I. Числовые ряды. Сходи-				Усвоение и закрепление изу-
мость и сумма ряда				ченного на лекции материала			2

II. Необходимый		признак		Углубление и расширение по-
сходимости. Ряды с положи-				лученных знаний. Усвоение но-
тельными членами.		Теоремы		вого материала. Текущий кон-
сравнения				троль			2

III.Признак Даламбера. Ради-				Углубление и расширение полу-
кальный и интегральный при-				ченных знаний. Решение различ-
знаки Коши				ных примеров с применением дос-
				таточных признаков сходимости			2

IV. Знакочередующиеся			и	Обобщение, систематизация		и
знакопеременные ряды. Абсо-				применение полученных знаний
лютная и условная сходимости				к исследованию	знакоперемен-
				ных рядов. Текущий контроль			2

V. Степенные ряды.		Нахож-		Усвоение и закрепление изу-
дение радиуса и интервала схо-				ченного на лекции материала.
димости				Текущий контроль			2

VI. Разложение	функций		в	Обобщение, систематизация		и
ряды Тейлора и Маклорена.				применение полученных на лек-
Приложение рядов к прибли-				ции знаний. Использование ра-
женным вычислениям				нее изученного материала. Те-
				кущий контроль			2

VII. Контрольная	работа		по	Промежуточный	контроль
теме «Ряды»				практических навыков и знаний			2

VIII. Разложение функций в				Усвоение и закрепление изу-
ряд Фурье, заданных на [−π; π]				ченного на лекции материала			2

IX. Разложение	функций		в	Обобщение рядов Фурье на 2ℓ-
ряд Фурье, заданных на [−ℓ; ℓ]				периодические функции. Теку-
				щий контроль			2

234

Основная и дополнительная литература

1.Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. –

М.: Наука, 1980.

2.Гусак, А.А. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак. – Минск: Навука и тэхника, 1991.

3.Жевняк, Р.М. Высшая математика. В 3 ч. Ч. 3 / Р.М. Жевняк, А.А. Кар- пук. − Минск: Выш. шк., 1985.

4.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 т. Т. 2 / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.

5.Берман, Г.М. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.М. Берман. – М.: Наука, 1971.

6.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 3 ч. Ч. 2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1980.

7.Сборник задач по математике для втузов: Специальные разделы мате- матического анализа / под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. − М.:

Наука, 1981.

8.Индивидуальные задания по высшей математике / под общ. ред. А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 2004.

235

I.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда

1. Краткий теоретический обзор с использованием лекционного ма- териала, графической схемы, информационной таблицы. Основной акцент сделать на то, что для большинства числовых рядов сумму ряда найти трудно и что для практических целей достаточно ответить на вопрос: схо- дится ряд или расходится?

Бесконечная сумма

∞

a1 + a2 + …+ an + ... = ∑ an ,

n=1

где an R , называется числовым рядом. Числа a1, a2 ,…, an ,... называются

членами ряда, а число an – общим членом ряда.

Конечные суммы S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , ..., Sn = a1 + a2 + ... + an , …	на-
зываются частичными суммами, а Sn – n-ной частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящимся, если его n-ная частичная сумма Sn	при
неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е.	если

lim Sn = S . Число	S называют суммой ряда. Если же lim Sn не существу-
n→∞									n→∞
ет (в частности, бесконечен), то ряд называется расходящимся.
В теоретической части модуля рассмотрен в качестве примера ряд,
составленный из членов геометрической прогрессии,
	a + a q + a q2					+ ... + a qn−1	+ ...,
	1	1			1	1
который сходится,	если		q	<1	(его сумма S =			a1	) и расходится, если
								a1

							1 - q
							1 - q

q³1.

2.Студенты самостоятельно работают с УМК. Обратить внимание на обучающие примеры.

	Обучающий пример 1.																					an =		n
														Дан общий член ряда											.	На-
														Дан общий член ряда											.	На-
																								10n + 1
писать первые четыре члена ряда.
	Решение. Если п = 1, то a =														1	; если n = 2, то a						=	2	; если n = 3,
	Решение. Если п = 1, то a =															; если n = 2, то a						=		; если n = 3,
											1		11								2	101
													11									101
то a =		3	; если n = 4, то a								=		4				; … . Ряд можно записать в виде
то a =			; если n = 4, то a								=						; … . Ряд можно записать в виде
3	1001								4		10001
	1001										10001
				1	+		2	+		3		+		4				+ ... +		n	+ ...
					+			+				+						+ ... +	10n +1		+ ...
	11					101			1001				10001						10n +1

236

Обучающий пример 2.				Найти общий член ряда
2		3 2			4 3	5	4
	+		+			+	+ ...
3
		7		11		15

Решение. Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена, поэтому показатель степени n-ного члена равен n. Числители дробей 2, 3, 4, 5, … образуют арифметическую прогрессию с первым чле- ном 2 и разностью 1, поэтому n-ный числитель равен n + 1. Знаменатели образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4,

Обучающий пример 3.

Исследовать сходимость ряда

+ ...

Решение. Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геомет-

рической прогрессии, где q =

<1,

поэтому

он сходится и

его сумма

S =

- q

Обучающий пример 4

(решает преподаватель у доски). Найти

сумму ряда

+ ...

1× 2 ×3

2 ×3 × 4

3 × 4 ×5

Решение.

Очевидно,

общий член ряда

an =

. Пред-

n(n +1)(n

+ 2)

ставим его в виде суммы простейших дробей

n(n +1)(n + 2)

n +1

n + 2

Умножая на знаменатель левой части, придем к тождеству

1 º A(n +1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n +1) .

Пусть

n = 0, тогда

1 = 2А A =

;

пусть

n = -1, тогда

1 = -В В = -1;

пусть

n = -2, тогда

1 = 2С C =

237

	Таким образом, an												=	1	×		1		-			1		+		1		×		1				=		1	1			-					2			+	1			. Тогда

																														+														n +
														2 n n +1 2 n																+		2 2					n							n +			1 n		+ 2
	Sn		=			1		+		1			+				1				+ ... +									1								+										1				=

				1	× 2										× 4 ×5										(n			-1)n(n +1)													n(n +1)(n + 2)
				1	× 2		×3 2			×3 × 4 3					× 4 ×5										(n			-1)n(n +1)													n(n +1)(n + 2)
1		-	2	+		1	+	1	-	2	+	1	+	1	-			2		+		1	+ ... +					1				-		2		+		1				+			1		-	2		+		1			=


1 2 3 2 3 4 3 4 5																											n -1 n n +													1 n n +									1 n + 2
										=	1		1	-				1			+		1					, а					lim Sn =							1				.

											2		2			n +																								4
											2		2			n +				1 n + 2												n →∞								4
	Итак, ряд сходится и имеет сумму																											1	.
	Итак, ряд сходится и имеет сумму																												.
																												4
	3. Два студента у доски решают примеры:
	Пример 1.									Найти общий член ряда																					1		+		3		+		5				+			7		+ ...
	Пример 1.									Найти общий член ряда																							+				+						+					+ ...
																														2				22				23							24								2n −1
																																												Ответ: a							=		2n −1			.
																																												Ответ: a							=					.
																																																		n				2n
																																																						2n

Пример 2.

1)найти сумму n первых членов ряда (Sn);

2)доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определе- нием сходимости;

3)найти сумму ряда (S).

1		+	1	+ ... +	1	+ ...
	1×3	+	3 ×5	+ ... +	(2n -1)(2n +1)	+ ...
								Ответ: S =		1	.
								Ответ: S =			.
								2
						∞	3n + 2n
Пример 3. Записать первые три члена ряда ∑									и найти его
Пример 3. Записать первые три члена ряда ∑							6n		и найти его
						n=1	6n

сумму.

Ответ: 1,5.

4. Студенты самостоятельно решают примеры I уровня сложности:

1) Составить формулы общих членов рядов:

а)	10	+	100	+	1000	+	10000		+ ...		б) -	1	+	1	-	1	+	1	- ...
а)		+		+		+			+ ...		б) -		+		-		+		- ...
7		9		11				13			3		5		7		9				(-1)n
			Ответ: an =					10n		;				Ответ: a						=		.
								2n + 5

																			n		2n +1
																					2n +1

238

2) Найти сумму рядов:

∞ 5n + 2n а) ∑ .

n=1 10n

Ответ: S = 5 . 4

3) Найти сумму n

найти сумму ряда:

m -1

б) 1 +

+ ... (m>1).

Ответ: S = m .

первых членов ряда, доказать сходимость ряда,

а)

... +

+ ...

Ответ: S =

;

× 4

4 × 7

(3n - 2)(3n +1)

б)

+ ...

Ответ: S =

× 7 ×9

×3 ×5 3

×5 × 7 5

Домашнее задание

1. Изучить по теоретической части модуля материал к следующему практическому занятию по теме «Необходимый признак сходимости, тео-

ремы сравнения для числовых рядов с положительными членами».

2.Выполнить следующие задания:

1)Написать формулы общих членов рядов:

а)

+ ...

б)

+ ...

4 6 8

1 1× 2 1× 2 ×3 1× 2 ×3 × 4

Найти суммы рядов:

∞

3n + 5n

а)

∑

Ответ: S =

;

n=1 15n

б)

+ ... +

+ ...

Ответ: S =

;

1× 4

2 ×5

n(n + 3)

в)

+ ... +

+ ...

Ответ: S =

;

1× 7

3 ×9

(2n -1)(2n + 5)

г)

+ ... +

2n + 1

+ ...

Ответ: S = 1.

n2 (n +1)2

239

II. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения

1.	Краткий теоретический опрос. Отметить, что необходимый при-
					∞	lim an = 0 ) не является достаточным,
знак (из сходимости ряда ∑ an						lim an = 0 ) не является достаточным,
					n=1		n	→∞
					n=1
то есть, если lim an = 0 ,					то ничего нельзя сказать о сходимости или расхо-
		n→∞
димости данного ряда. А вот, если							lim an ¹ 0		, то ряд расходится (это дос-
							n→∞
таточный признак расходимости).
Признак сравнения 1 .						Если для всех n ³ n0 выполняется не-
равенство 0 < an ≤ bn , то:
				∞					∞
1)	если ряд			∑bn	сходится, то сходится и ряд ∑ an ;
				n=1					n=1
				∞					∞
2)	если ряд			∑ an	расходится, то расходится и ряд ∑bn с боль-
				n=1					n=1
шими членами.
Признак сравнения 2 .						Если существует конечный и отличный
		an			∞			∞
от нуля	lim	an	, то оба ряда ∑ an				и	∑bn	одновременно сходятся или
от нуля	lim		, то оба ряда ∑ an				и	∑bn	одновременно сходятся или
	n→∞ bn				n=1			n=1

одновременно расходятся.

В качестве рядов для сравнения часто выбирают ряд, составленный

∞

из членов геометрической прогрессии, ∑ aqn−1 , который сходится для

n=1

		<1 и сумма которого S =	a
			a
всех	q			,	а также, так называемый, обоб-
всех	q			,	а также, так называемый, обоб-
		1	− q		∞	1
		1	− q

щенный гармонический ряд (ряд Дирихле)					∑		,	который сходится для
щенный гармонический ряд (ряд Дирихле)					∑		,	который сходится для
					n=1 n p

всех р > 1 и расходится, если р ≤ 1.

Следует также обратить внимание студентов на то, что сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в нем отбросить или добавить любое конечное количество членов. Но его сумма, если она су- ществует, при этом изменяется.

240

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf