Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3325 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

2. Студенты работают с УМК. Обратить внимание на обучающие примеры.

Обучающий пример 1. Исследовать сходимость ряда

1 + 1 + 1 + 1 + ...

11 12 13 14

Решение. Данный ряд получается из гармонического ряда

1 +	1	+	1	+ ... +	1	+ ...,
					n
2		3

который расходится как частный случай ряда Дирихле (р = 1), отбрасыва- нием первых десяти членов. Следовательно, он расходится.

Обучающий пример 2. Исследовать сходимость ряда

0,6 + 0,51 + 0,501 + 0,5001 + …

	Решение. Здесь					a	= 0,5 + 0,1n	(n = 1, 2, …),
							n
lim a		= lim	0,5 +		1	= 0,5 ¹	0 и ряд расходится по достаточному при-
lim a		= lim	0,5 +			= 0,5 ¹	0 и ряд расходится по достаточному при-
n→∞	n
n→∞		n→∞		10n

знаку расходимости.

Обучающий пример 3.

Доказать сходимость ряда

∞

∑

+ ... +

+ ...

2 ×32

n ×3n

n=1 n ×3n

1×3

Решение.

Воспользуемся неравенством

(n ³ 2) и срав-

∞

×3

ним данный ряд со сходящимся рядом

∑

q =

<1. Согласно первому

n=1 3n

признаку сравнения данный ряд сходится.

Обучающий пример 4.

Исследовать на сходимость ряд

∞

∑

n2 -1

n=2

Решение.

Так как

для любого

n ³ 2, то члены данного

n2 -1

ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ря- да. Значит, исходный ряд тоже расходится.

241

Обучающий пример 5 (решает преподаватель у доски). Иссле-

∞ 1 + n2 2

довать на сходимость ряд ∑ . n=1 1 + n3

Решение. Если общим членом ряда является отношение двух мно- гочленов, то в качестве ряда для сравнения рекомендуется брать ряд Ди-

∞	1
рихле ∑		, где р равно разности степеней многочленов, стоящих в зна-

n=1 n p

менателе и числителе (если степень числителя больше либо равна степени

знаменателя, то, очевидно,

lim an ¹ 0

и ряд расходится в этом случае).

n→∞

В нашем примере степень знаменателя – 6 ( содержит n6), а числите-

ля - 4 (содержит

n4), поэтому

р = 6 – 4 = 2

и в качестве ряда для сравне-

∞

ния берем ряд ∑

который сходится, так как р = 2 > 1. Применим вто-

n=1 n2

рой признак сравнения

+ n

1 + n2

)

× n2

1 + 2n2

+ n4

)

lim

= lim

(

= lim

(

(1 + n

)

n→∞

+ n

n→∞

1 + 2n

+ n

= lim	n6 + 2n4 + n2	=1 ¹ 0 .

n→∞ n6 + 2n3 +1

Получили конечный, отличный от нуля, предел. Значит, данный ряд

тоже сходится. Заметим, что lim an = 0 .

n→∞

3. Два студента у доски (параллельно) решают примеры Исследовать сходимость рядов:

а)

+ ... +

+ ...

Ответ: расходится;

3n -1

∞

б)

∑

Ответ: сходится;

n=1 2n +1

∞

в)

∑

Ответ: сходится.

n=1 n2 - 4n + 5

242

4. Студенты самостоятельно решают примеры: Исследовать сходимость рядов:

∞

(

∞

(

а) ∑

n -1

г)

∑

n +1

n -1

n=1

n=1 n

∞

Ответ: расходится;

Ответ: сходится;

∞

n +1

б) ∑ tg

д) ∑

n=1

Ответ: расходится;

∞

Ответ: расходится;

в)

+ ... +

+ ...

е)

n∑=1

ln 2

ln 3

ln (n +1)

(5n - 4)(4n -1)

Ответ: расходится;

Ответ: сходится.

Домашнее задание

1. Исследовать на сходимость следующие ряды:

∞

а)

∑

n=1

Ответ: расходится;

б)

1 +

+ ... +

+ ...

2n -1

Ответ: расходится;

в)

sin π + sin π + ... + sin

+ ...

∞

Ответ: сходится;

( n2 + n +1 - n2 - n +1).

г)

∑

n=1 n

∞

д)

∑

n=1

n4 +1

∞

Ответ: сходится;

е)

∑

n=1 4

× 2n - 3

Ответ: сходится;

ж)

2 +1

22 +1

23 +1

+ ...

5 +1

52 +1 53 +1

Ответ: сходится.

Ответ: расходится; 2. Изучить теоретический материал по теме «Признак Даламбера.

Признаки Коши».

III. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки

Коши

1. Опрос теоретического материала. Отметить, что достаточные признаки:

Признак Даламбера: p = lim an+1 (при р < 1 ряд сходится, при

n→∞ an

р > 1 ряд расходится, при р = 1 нужны дополнительные исследования);

243

Радикальный признак Коши:	p = lim n	a	(при	р < 1 ряд сходится,
	n→∞	n
	n→∞
при р > 1 ряд расходится);
Интегральный признак Коши:	если сходится			(расходится) несоб-

ственный интеграл ∞∫ f ( x)dx ( an = f (n) ), то сходится (расходится) и ряд

∞

∑ an , применяются только к рядам с положительными членами.

n=1

Студенты работают с УМК, самостоятельно изучают обучающие

примеры.

Обучающий пример 1.

Исследовать сходимость ряда

+ ... +

+ ...

210

310

n10

Решение.

Применим признак Даламбера;

имеем

n10

n+1

an+1 =

, значит p = lim

an+1

= lim

× n

n→∞ an

× 2

(n +1)

n→∞

(n +1)

n→∞ (n +1)

= 2 lim

n10

= 2 ×1 = 2 >1, ряд расходится.

1)10

n→∞ (n +

Обучающий пример 2.

Исследовать сходимость ряда

∞

∑

1 +

n=1 2n

Решение.

Имеем

an =

1 +

. Здесь удобнее применить ра-

дикальный признак Коши:

p = lim n		= lim n	1	1
	a

n→∞	n	n→∞
			2n

т.е. данный ряд расходится.

Обучающий пример 3

	1	n2	1			1 n		e
+			= lim	1	+		=		>1,
								2
	n		n→∞ 2			n

(решает преподаватель у доски). Ис-

∞	2n
следовать на сходимость ряд ∑		.
	(n2 +1)2
n=1

244

Решение. Применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим

несобственный интеграл

∞	2x	dx = lim
∫
	(x2 +1)2
1		b→∞

= - lim

b→∞

b		2			−2				2								1	b
		2			−2				2								1	b
	(x		+1)				d (x			+1) = lim -								=
∫
∫
1														b→∞			x2 +1	1
1		1				1							1		1		x2 +1	1
		1				1							1		1
				-				= -			0	-		=		.
				-				= -			0	-		=	2	.
b2 +1 2													2		2

Несобственный интеграл сходится, значит, сходится и данный ряд. Заметим, что данный ряд можно было сравнить со сходящимся ря-

∞

дом Дирихле

∑

(р > 1).

n=1 n

Обучающий пример 4

(решает преподаватель у доски). Дока-

зать, что

lim

= 0 .

n→∞ (2n)!

∞

Решение.

Рассмотрим числовой ряд

∑

и исследуем его схо-

n=1

(2n)!

димость при помощи признака Даламбера.

p = lim

n+1

= lim

(n +1)n+1

(2n)!

= lim

(n +1)n+1 (1× 2 ×3 ×...× 2n)

+1))!

×(1× 2 ×3 ×... × 2n)(2n +1)(2n +

n→∞ an

n→∞

n→∞ nn

(n +1)n+1

(n +1)n

1 n

= lim

lim

lim 1 +

× lim

(n +1)

n→∞ nn (2n +1)2

2 n→∞

2n +1 2 n

→∞

n→∞ 2n +1

= e × 0 = 0 <1. Значит, ряд сходится и из необходимого признака сходимо-

2
сти следует, что lim an	= lim	nn	= 0 .

n→∞	n→∞ (2n)!

3.Два студента у доски решают (параллельно) примеры:

1)исследовать на сходимость ряды:

а)

... +

+ ...

Ответ: сходится;

(2n +1)!

б)

arcsin1 + arcsin2

+ ... + arcsinn

+ ...

Ответ: сходится;

в)

+ ... +

+ ...

Ответ: сходится;

2ln2 2

3ln2 3

(n +1)ln2 (n +1)

245

2) доказать, что lim	(n!)n		= 0 .
		n2
n→∞	n

Домашнее задание

1. Исследовать на сходимость ряды:

	∞	n2							д)
а)	∑			.
а)	∑			.
	n=1 n!
	∞					Ответ: сходится;
	∞			n
б)	∑			n			.		е)


	n=1100n					+ 1
				Ответ: расходится;
	∞		2n2			+ 2n + 1		n	ж)
в)	∑							.
в)	∑				2			.
			5n		2	+ 2n + 1
	n=1		5n			+ 2n + 1

Ответ: сходится;

	∞	1			з)
г)	∑			.


	n=1 lnn (n + 1)
		Ответ: сходится;
2. Доказать, что
а)	lim	(2n)!	= 0 , (а > 1);		б)
	n→∞ an!

∞	1			n + 1
∑			ln		.


n=2		n		n −1

Ответ: сходится;

∞	π
∑ n tg		.
	2n+1
n=1

Ответ: расходится;

∞	1 + n			2
∑				.
		1	+ n2
n=1

Ответ: сходится;

∞	1
∑	1	.


n=3 n ln n(ln ln n)2

Ответ: сходится.

lim	nn	= 0 .

n→∞ (n!)2

3. Изучить теоретический материал по теме «Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость».

IV. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная

иусловная сходимость

1.Краткий теоретический опрос по теме практического занятия. Отметить, что знакочередующийся ряд

a1 − a2 + a3 − a4 + ... + (−1)n+1 an + ... (an > 0)

является частным случаем знакопеременного ряда a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ,

у которого члены ряда могут иметь любые знаки. Знакопеременные ряды исследуются на абсолютную или условную сходимость.

246

Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин соответст- вующих членов знакопеременного ряда,

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ,

то сходится и сам знакопеременный ряд, при этом он называется абсо-

лютно сходящимся.

Если же ряд из абсолютных величин расходится, а сам ряд сходится,

то он называется условно сходящимся.

К исследованию знакочередующихся рядов можно применить доста- точный признак – теорему Лейбница:

Если выполняются для знакочередующегося ряда условия: 1) a1 > a2 > a3 > ... ( an > 0 , начиная с некоторого номера n0);

2) lim an = 0 ,

n→∞

то этот ряд сходится.

2. Студенты работают с УМК, самостоятельно разбирают обучаю- щие примеры.


Обучающий пример 1.					Исследовать на абсолютную или ус-
ловную сходимость ряд	1 -		1		+		1		-		1		+ ...

	2				22				23
Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин
	1 +	1		+		1		+		1		+ ...

	2				22				23

Этот ряд составлен из членов геометрической прогрессии со знаме-

нателем q = 1 <1 и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд схо- 2

дится, причем абсолютно.

Обучающий пример 2. Исследовать на абсолютную или ус-

ловную сходимость ряд		1,1 – 1,01 + 1,001 – 1,0001 + …
Решение. Ряд из абсолютных величин
	1,1 + 1,01 + 1,001 + 1,0001 + …
расходится, так как	lim a		= lim	1 +	1	=1 ¹ 0 .
		n
	n→∞
			n→∞		10n

Первое условие теоремы Лейбница выполняется: 1,1 > 1,01 > 1,001 > 1,0001 > … ,

но lim an ¹ 0 , как только что было показано. Ряд расходится.

n→∞

247


Обучающий пример 3.								Исследовать на абсолютную или ус-
ловную сходимость ряд 1 -	1		+		1		- ... + (-1)n+1				1	+ ...
											2n -1
3				5
Решение. Рассмотрим ряд из абсолютных величин
1 +		1		+		1		- ... +	1	+ ...
									2n -1
3				5

и сравним его с расходящимся гармоническим рядом 1 + 1 + 1 - ... + 1 + ...

2 3

lim

= lim

¹ 0 .

n→∞ bn

n→∞ 2n -1 1 n→∞ 2n -1 2

Значит, оба ряда расходятся.

Проверим для самого знакочередующегося ряда выполнение усло-

вий теоремы Лейбница:

1 >

> ... ;

lim an

= lim

= 0 .

n→∞

n→∞ 2n -1

Следовательно, данный ряд сходится и называется условно сходя-

щимся.

Обучающий пример 4

(решает преподаватель у доски).

Ис-

следовать на сходимость ряд

cos α

cos 2α

cos3α

+ ... +

cos nα

+ ...

(1)

Решение. Этот ряд знакопеременный, так как cos na (n= 1, 2, 3, …)

в зависимости от угла

na может принимать значения любого знака. Ис-

следуем его на абсолютную или условную сходимость, для чего рассмот- рим ряд из абсолютных величин


	cos a		+		cos 2a				+		cos3a		+ ... +			cos na	+ ...	(2)
	cos a

15																n5
15						25		35								n5
Члены ряда (2) не превосходят соответствующих членов ряда
				1		+	1	+		1		+ ... +		1	+ ...,			(3)
				5		+	5	+		5		+ ... +		5	+ ...,			(3)
		1				2		3						n

так как cos na £1.

Ряд (3) сходится как ряд Дирихле (p = 5 > 1). Тогда по первому при- знаку сравнения сходится ряд (2), а, стало быть, сходится и ряд (1), причем абсолютно.

248

3. Два студента у доски решают (параллельно) примеры: 1) показать, что ряд 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится.

Предложить одному студенту использовать обычную схему иссле- дования знакопеременных рядов на абсолютную и условную сходимость, а второму – определение сходимости числовых рядов с помощью частичных сумм;

2)		выяснить, какие из указанных рядов сходятся абсолютно, какие
условно, какие расходятся:
а) 1 -	1	+	1	- ... + (-1)n+1				1		+ ...	в)	1	-		8	+ ... + (-1)n+1			n3	+ ...
	3		3					(2n -1)	3			1			8				n3
	3		3						3
3 5											2 4								2n
∞		Ответ: сходится абсолютно;										Ответ: сходится абсолютно;
∞				2	n	2						∞ (-1)					n
б) ∑(-1)n+1				2			.				г) ∑							.
б) ∑(-1)n+1							.				г) ∑							.
n=1				n!							n=1 n - ln n
							Ответ: расходится;							Ответ: сходится условно.

Домашнее задание

1.Проработать теоретический материал к следующему практиче- скому занятию по теме «Степенные ряды. Нахождение радиуса и интерва- ла сходимости».

2.Выяснить, какие из следующих рядов сходятся абсолютно, какие условно и какие расходятся.

а)

+ ... + (-1)n+1

+ ...

Ответ: сходится условно;

ln 2

ln (n +1)

ln 3

б)

sin α

sin 2α

sin 3α

+ ... +

sin nα

+ ...

Ответ: сходится абсолютно;

в)

2 -

+ ... + (-1)n+1

n + 1

+ ...

Ответ: расходится;

г)

∞

(-1)n

Ответ: сходится абсолютно;

∑

n=1 n

∞

(-1)

2n -1

д)

∑

Ответ: сходится абсолютно;

+ 2

n=1

1× 4 × 7 ×... ×(3n - 2)

е)

1× 4

1× 4 × 7

- ... + (-1)n+1

+ ... Ответ: расходится;

3 ×5

3 ×5 × 7

3 ×5 × 7 ×...×(2n +1)

∞

(-1)n

ж)

∑

Ответ: расходится;

n=1

5n - 2

249

∞	(-1)n	ln n
з) ∑			.	Ответ: сходится условно;

n=2		n

	∞	(-1)n		n!
и)	∑			n!		.
и)	∑					.
	n=1	1×3 ×5 ×...×(2n -1)
	∞	(-1)n		1
к)	∑			1	.
к)	∑		n ln n(ln ln n)3		.
	n=3		n ln n(ln ln n)3
	∞	sin na
л)	∑			.
л)	∑	(ln 3)n		.
	n=1	(ln 3)n

Ответ: сходится абсолютно;

Ответ: сходится абсолютно.

3. Предложить студентам самостоятельно решить следующий пример:

	∞	(-1)n−1	1
Вычислить сумму ряда ∑			1	с точностью d = 0,001.
Вычислить сумму ряда ∑			n2 × 2n	с точностью d = 0,001.
	n=1		n2 × 2n
Указание.	Так как данный		ряд	знакочередующийся, сходя-

щийся (почему?), то величина отброшенного остатка ряда, который также является знакочередующимся, не превосходит первого отброшенного члена (на основании теоремы Лейбница), т.е. должно выполняться неравенство

n2 × 2n

Решая перебором п = 1, 2, 3, … ное число членов частичной суммы, ния суммы данного ряда.

£ 0,001.

это неравенство, определяется нуж- взятой для приближенного вычисле-

Ответ: 0,449.

V.	Степенные	ряды.				Нахождение						радиуса и интервала
сходимости
1.	Проверка выполнения домашнего задания. Обратить внимание на
выполнение последнего примера, где п = 6,
	S @ S5	=	1	-	1	+	1	-	1	+	1	= 0,449 .
									256		800
		2		16		72

2. Краткий теоретический опрос. Обратить внимание, что областью сходимости степенного ряда является интервал (-R, R), где R – радиус сходимости можно определить по одной из формул

R = lim		Cn	;	R =	1		;


n→∞	Cn+1				lim n	Cn
					n→∞

250

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3325 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf