Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3319 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

12. Задача Коши

найти решение

y = f ( x)

ДУ первого порядка,

удовлетворяющее начальному условию

y = y0

при

x = x0 . Другими словами,

найти интеграль-

ную кривую этого уравнения, проходящую че-

рез точку M 0 ( x0 , y0 )

13. Особое решение

решение ДУ, в каждой точке которого наруша-

ется единственность решения задачи Коши

14. ДУ с разделенны-

уравнение вида P ( x) dx + Q ( y ) dy = 0 , где Р(х) –

ми переменными

функция только от х;

Q(y) – функция только от у.

∫P ( x) dx + Q ( y ) dy = C

–

общий интеграл этого

уравнения

15. ДУ с разделяющи-

уравнение вида

мися переменными

P ( x) Q

( y ) dx + P ( x)Q

( y ) dy = 0 , где Р1(х) и

Р2(х) –

функции только от х;

Q1(y) и Q2(y) –

функции только от у. Приводится к ДУ с разде-

ленными переменными и интегрируется

16. ДУ, приводящиеся

уравнение вида y′ = f (ax + by + C ) приводится к

к уравнению с разде-

ДУ с разделяющимися переменными подстанов-

ляющимися перемен-

кой

z = ax + by + C

ными

17. Однородные ДУ

уравнение вида

y′ = f ( x, y ) называется

одно-

родным, если f(x, y) –

однородная функция ну-

левого измерения, т.е.

f (tx,ty ) = f ( x, y ) "t ¹ 0 .

Подстановкой y = ux ,

′

= u x + u приводится к

ДУ с разделяющимися переменными

18. ДУ, приводящиеся

ax + by + C

к однородным

уравнение вида

y¢ = f

. С помо-

a1x + b1 y + C1

щью преобразования x = u + α ,

y = v + β за счет

выбора a и b приводится к однородному ДУ, ес-

ли

, и к ДУ с разделяющимися перемен-

ными, если

181

1							2

19. Линейное ДУ пер-	уравнение					вида	y′ + p ( x) y = q ( x) ,	т.е. уравне-
вого порядка	ние, содержащее в первой степени у и у¢, реша-
	ется подстановкой y = u ( x) v ( x) либо методом
	вариации произвольной постоянной
20. Уравнение Бер-	уравнение					вида	y¢ + p ( x) y = q ( x) × yα ,			где
нулли	a ¹ 0,1 – действительное число. Оно сводится к
	a ¹ 0,1 – действительное число. Оно сводится к
	линейному					с помощью подстановки			u = y1−α .
	Можно					сразу	применять	подстановку
	y = u ( x) v ( x) или метод вариации

21. ДУ в полных диф-	уравнением в полных дифференциалах называ-
ференциалах	ется		уравнение вида P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0 ,
	левая часть которого является полным диффе-
	ренциалом некоторой функции U ( x, y ) , т.е.
				P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = dU ( x, y ) .
	Необходимое и достаточное условие								¶P º	¶Q ,
	общий интеграл U ( x, y ) = C .								¶y	¶x
	общий интеграл U ( x, y ) = C .
						x	y
			U ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q ( x0 , y )dy ,
						x0	y0
	где M 0 ( x0 , y0 ) –						произвольная точка из области
	существования решения
22. ДУ высших по-	частные случаи ДУ высших порядков, в которых
рядков, допускающие	отсутствуют либо х, либо у и у¢; соответствую-
понижение порядка	щими подстановками сводятся к ДУ более низ-
	кого порядка:
	а) y(n) = f ( x) , решается n-кратным интегриро-
	ванием;
	б) y′′ = f ( x, y′) ,						подстановкой		y′ = p ( x) ,
		y′′ =	p′( x)			сводится к ДУ первого			порядка
		p′ = f ( x, p) ;
	в) y′′ = f ( y, y′) ,						подстановкой		y′ = p ( y ) ,
		d 2 y	=	dp	p сводится к ДУ первого порядка
		dx2	=		p сводится к ДУ первого порядка
		dx2		dy

182

23. Линейные неодно-

уравнение, линейное относительно неизвестной

родные ДУ высших

функции и ее производных. ДУ второго порядка

порядков

имеет

вид

y′′ + a

( x)

y′ + a

( x) y = f ( x) . Если

f ( x) ¹ 0 , то ДУ называется неоднородным; если

f ( x) = 0 , ДУ называется однородным

24. Структура обще-

y = yодн + yч , где уодн –

общее решение соответ-

го решения линейного

ствующего однородного ДУ;

уч – любое частное

неоднородного ДУ

решение неоднородного уравнения

25. Линейно зависи-

два решения y1 ( x) и y2 ( x)

называются линейно

мые и линейно неза-

независимыми на [a,b] , если для всех точек это-

висимые решения

( x)

го отрезка

¹ 0 ,

в противном случае они

( x)

называются линейно зависимыми

26. Вронскиан

определитель вида

= W ( y , y

)

называ-

y ¢

ется определителем Вронского или вронскиа-

ном, составленным из двух решений у1 и у2.

Если

у1

у2

–

линейно

зависимы, то

W ( y1, y2 ) = 0 ; если у1 и у2 –

линейно независи-

мые решения на [a,b], то для всех точек этого

отрезка W ( y1, y2 ) ¹ 0

27. Структура обще-

yодн = C1 y1 + C2 y2 , где у1

и у2

–

линейно незави-

го решения линейного

симые частные решения этого уравнения.

однородного ДУ

Для

ДУ

n-ного

порядка

общее

решение

y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn

(W ( y1, y2 ,..., yn ) ¹ 0).

Не существует общих методов нахождения ча-

стных решений линейных однородных (а, зна-

чит, и неоднородных) ДУ с переменными коэф-

фициентами

183

1	2
28. Линейные одно-	уравнения вида y′′ + py′ + qy = 0 , где p и q – по-
родные ДУ с посто-	стоянные числа. Его частное решение надо ис-
янными коэффици-	кать в виде y = ekx . Для нахождения k получает-
ентами	ся уравнение k 2 + pk + q = 0 . Если
	ся уравнение k 2 + pk + q = 0 . Если

1)D > 0, yодн = C1ek1x + C2ek2 x ;

2)D = 0, yодн = ek1x (C1 + C2 x) ;

3)D < 0, yодн = eαx (C1 cosbx + C2 sin bx)

(k1,2 = a ± ib,

i =

)

-1

29. Метод вариации

применяется для нахождения частного решения

произвольных посто-

линейного

неоднородного

ДУ

виде

янных

yч = C1 ( x) y1 + C2 ( x) y2 ,

если

известно

общее

решение соответствующего однородного урав-

нения

= C y + C

. Производные

C ¢ ( x)

одн

1 1

C2¢ ( x)

находятся

из

системы

+ C ¢y

= 0,

C ¢y

1 1

¢ = f

( x)

C ¢y ¢ + C ¢y

1 1

Сами функции C1 ( x) и C2 ( x) находятся интег-

рированием C ¢ ( x) , C

¢ ( x)

30. Специальная пра- специальной правой частью называются некото- вая часть рые виды функции f(x) в правой части линейно- го неоднородного ДУ с постоянными коэффи-

циентами.

I. f ( x) = eαx Pn ( x) , где Pn ( x) – многочлен сте-

пени n. Частное решение неоднородного ДУ следует искать в виде yч = xℓ × eαxQn ( x) , где ℓ –

кратность a, как корня характеристического уравнения соответствующего однородного ДУ,

Qn ( x) – искомый многочлен тоже степени n.

184

1				2

	II. f ( x) = eαx P ( x) cosβx + eαxQ ( x)sin βx .
	а)	если	α ± iβ	не являются корнями характе-
	ристического уравнения, то
		y = eαxu ( x) cosβx + eαxv( x)sin βx ;
			ч
	где u(x) и v(x) –			искомые многочлены степени,
	равной наибольшей из степеней многочленов
	P(x) и Q(x).
	б)	если	α ± iβ	являются корнями характери-
	стического уравнения, то
		yч = x (eαxu ( x)cosβx + eαxv ( x)sin βx)

31. Системы ДУ	называется совокупность ДУ от нескольких не-
	известных функций от одной переменной и про-
	изводных от этих функций

32. Нормальная сис-	если каждое ДУ решено относительно произ-
тема ДУ	водной, система называется нормальной

33. Системы линей-	однородная и неоднородная системы ДУ с по-
ных ДУ с постоян-	стоянными коэффициентами. Решаются сведе-
ными коэффициен-	нием к ДУ высших порядков методом исключе-
тами	ния неизвестных. Однородную систему можно
	решить также составлением характеристическо-
	го уравнения, нахождением собственных значе-
	ний и векторов матрицы, составленной из коэф-
	фициентов при неизвестных

185

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 10. « РЯДЫ»

Введение

В данном учебном модуле рассматриваются числовые ряды, функ- циональные ряды и их частные виды – степенные ряды и ряды Фурье. Ис- следуется вопрос о сходимости и расходимости числовых рядов, нахожде- нии области сходимости функциональных рядов. Сходящиеся числовые ряды и степенные ряды широко используются для приближенного вычис- ления значений функций и «неберущихся» определенных интегралов, а также для нахождения частных решений дифференциальных уравнений в виде степенного ряда. Ряды Фурье имеют большое практическое примене- ние в уравнениях математической физики.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

Студент должен знать			Студент должен уметь
− определение ряда, его сходимости и		− исследовать числовой ряд на сходи-
расходимости, суммы ряда;		мость или расходимость по определению,
− необходимый признак сходимости и		в необходимых случаях находить сумму
достаточный признак расходимости;		ряда;
− признаки сравнения, «эталонные ря-		− применять достаточный признак рас-
ды»;		ходимости;
− достаточные признаки сходимости чи-		−	применять признаки сравнения;
словых рядов с положительными члена-		−	применять признаки Даламбера и Ко-
ми: Даламбера и Коши;		ши;
− определение абсолютной и условной		− исследовать знакопеременные ряды на
сходимости знакопеременных рядов;		абсолютную и условную сходимость;
− теорему Лейбница для исследования		− применять теорему Лейбница для ис-
на сходимость знакочередующихся ря-		следования сходимости знакочередую-
дов;		щихся рядов;
− понятие мажорируемых функциональ-		− находить область сходимости про-
ных рядов;		стейших функциональных рядов;
− определение интервала сходимости;		− находить интервал сходимости сте-
− формулы нахождения радиуса сходи-		пенных рядов, исследовать сходимость
мости;		на концах интервала;
− теоремы о почленном дифференциро-		− раскладывать функции в ряды Тейлора
вании и интегрировании степенных ря-		и Маклорена;
дов;		−	применять теоремы о почленном диф-
− ряды Тейлора и Маклорена, условия		ференцировании и интегрировании сте-
разложимости функций в ряд Тейлора;		пенных рядов для разложения функций в
− разложения функций ex , sin x ,	cos x в	ряды Тейлора и нахождения сумм этих
ряды Маклорена, биномиальный	ряд и	рядов;
его частные случаи;		− применять ряды к приближенному вы-
− методы оценки погрешности при при-		числению значений функций и опреде-
ближенных вычислениях с помощью рядов;		ленных интегралов;

186

− теорему Дирихле о разложении функ-				− применять степенные ряды к нахож-
ций в ряды Фурье;				дению частных решений дифференци-
− формулы для вычисления коэффици-				альных уравнений;
ентов ряда Фурье и самого ряда Фурье				− вычислять коэффициенты ряда Фурье
для	2π-периодических	и	2ℓ-	и записывать сам ряд Фурье;
периодических функций; для четных и				− применять разложения функций в ряд
нечетных функций				Фурье для вычисления сумм некоторых
				сходящихся числовых рядов

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ

Название вопросов,	№ прак-	Методи-	Формы
Название вопросов,	тиче-	ческие	контро-
которые изучаются на лекции	ского	ческие	ля зна-
которые изучаются на лекции	ского	пособия	ля зна-
	занятия	пособия	ний

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.		1, 3, 4,
Необходимое условие сходимости. Простейшие	I, II	1, 3, 4,	ВДЗ
Необходимое условие сходимости. Простейшие	I, II	5, 6	ВДЗ
действия над рядами		5, 6
действия над рядами
2. Ряды с положительными членами. Теоремы	II	3, 4, 5,	Опрос,
сравнения	II	6	ПДЗ
сравнения		6	ПДЗ
3. Признаки сходимости Даламбера и Коши	III	3, 4, 5,	Опрос,
	III	6	ПДЗ
		6	ПДЗ
4. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбни-		3, 4, 5,	Опрос,
ца. Знакопеременные ряды. Абсолютно и ус-	IY	3, 4, 5,	Опрос,
ца. Знакопеременные ряды. Абсолютно и ус-	IY	6	ПДЗ
ловно сходящиеся ряды		6	ПДЗ
ловно сходящиеся ряды
5. Функциональные ряды. Область сходимо-	Y	1, 3, 4,	Опрос,
сти. Степенные ряды	Y	5, 6, 7	ПДЗ
сти. Степенные ряды		5, 6, 7	ПДЗ
6. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимо-
сти для рядов с действительными членами. Ин-	Y	1, 3, 4,	Опрос,
тегрирование и дифференцирование степенных	Y	5, 6, 7	ПДЗ
тегрирование и дифференцирование степенных		5, 6, 7	ПДЗ
рядов
7. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложе-
ния функции. Разложение по степеням x функ-	YI	4, 5, 6	ПДЗ
ций ex, sin x, cos x, (1 + x)m
8. Приложение рядов к приближенным вычис-	YI	4, 5, 6,	КР
лениям	YI	8	КР
лениям		8
9. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Разложение в		1, 2, 3,	Опрос,
тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных	YIII	1, 2, 3,	Опрос,
тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных	YIII	4, 5, 6	ВДЗ
функций, заданных на интервале (– π, π)		4, 5, 6	ВДЗ
функций, заданных на интервале (– π, π)
10.Разложение в тригонометрический ряд	IX	1, 2, 3,	Опрос,
функций, заданных на интервале (−ℓ,ℓ)	IX	4, 5, 6	ПДЗ
функций, заданных на интервале (−ℓ,ℓ)		4, 5, 6	ПДЗ

Перечень тем практических занятий приведен в практической части модуля.

187

188

ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ

РЯДЫ

Функциональные ряды

Ряды Фурье

Степенные ряды

Ряды Тейлора и Маклорена

Нахождение области сходимости

Приложения степенных рядов

	Числовые ряды


Знакопеременные ряды		Ряды с положительными
		членами
		членами

Знакочередующиеся ряды

Достаточные признаки сходимости и расходимости

Исследование на абсолютную или условную сходимость

Достаточный признак

расходимости

Признаки сравнения

Признак Даламбера

Признаки Коши

188

Информационная таблица «Ряды»

«Важные сведения из пределов»

k n

lim n n =1 ;

lim

= ek

;

n→∞

lim

sin ky

= k ;

lim n

= e ;

y→0

n→∞

«Ряды»

5.	lim	1	= 0 ;

	n→∞ n n!
6.	ln x xn a x xx

при x ® ¥, a > 1, n Î N.

Числовой ряд – сумма элементов					Числовой ряд называется сходящимся, if
последовательности {an }n .				$ конечный предел последовательности его
∞				частичных сумм:		S = lim Sn .
∑ an = a1 + a2 + ... + an + ...							n→∞
∑ an = a1 + a2 + ... + an + ...
n=1		∞						∞
if lim Sn не $ или бес-	if	∞			сходится,			∞
if lim Sn не $ или бес-	if	∑ an			сходится,	то		∑ an сходится
n→∞		n=1						n=1
конечен, то ряд называет-	lim a	= 0		(необходимое условие				lim r = 0 ,
ся расходящимся.	n→∞ n							n→∞ n
	сходимости		ряда).					rn = an+1 + an+2 + ...

Признак сравнения 1.

∞

Пусть заданы знакоположительные ряды ∑ an (1),

n=1

∞

∑ bn (2) и " n ³ n0, an ³ bn.

n=1

Тогда, если ряд (1) сходится, то сходится и ряд (2); если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Ряды «эталоны»

Признак сравнения				2.
Если $			конечный	предел
lim	an	¹ 0 ,	то ряды (1) и (2)

n→∞ b
	n

сходятся или расходятся одно- временно.

Ряд Дирихле

2. Геометрическая прогрессия

(обобщенный гармонический ряд)

∞

при

< 1,

сход.

∞

r £ 1,

расх.

∑ b1qn

, S =

∑

–

n=0

при

³ 1,

расх.

1- q

n=1 nρ

r > 1,

сход.

Признак Даламбера.

Пусть

задан

Радикальный признак Коши. Пусть за-

∞

знакоположительный ряд

∑ an .

Тогда

дан знакоположительный ряд

∑ an . Тогда

n=1

an+1

при p<1 – ряд сход.,

при p<1 –

ряд сход.,

if lim

= p , то

if lim n a

= p , то

при p>1 – ряд расход.,

n→∞

при p>1 – ряд расход.,

n→∞ an

при p=1 нужны доп. исслед.

∞

Интегральный признак Коши.

Пусть для знакоположительного ряда ∑ an $ по-

n=1

(a ³1)

ложительная,

непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [a, + ¥)

∞

функция f ( x) такая, что f (n) = an . Тогда ряд ∑ an и несобственный интеграл

n=1

+∞∫ f ( x) dx сходятся или расходятся одновременно.

189

Знакопеременные ряды

∞

Пусть задан знакопеременный ряд ∑ an (1), где an – числа произвольного знака.

n=1

∞

Тогда, если ряд ∑ an (2) сходится, то сходится и данный ряд (1), при этом он называ-

n=1

ется абсолютно сходящимся. Если ряд (2) расходится, а данный ряд (1) сходится, то он называется условно сходящимся.

∞	(-1)n−1 × a		(a > 0) .
Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся ряд ∑		n
n=1			n

Если выполняются условия:

ма 0 < S < a1 .

R = lim

n→∞

1)a1 > a2 > …> an > …

, то данный ряд сходится и его сум-

=0,2) lim an

Степенные ряды

Cn		1	∞
	или R = lim n		, if ∑ C xn .

Cn+1	n→∞	Cn	n
			n=1

(– R, R) – интервал сходимости, при х = – R и х = R ряд исследуется дополнительно.

Ряд Фурье

∞

f ( x)

∑ (a

cos nx + b

sin nx) ,

n=1

1 π

f ( x) dx ,

f ( x)cos nx dx ,

1 π

f ( x)sin nx dx .

π −π∫

Если 2p –

периодическая функция

f(х)

кусочно-монотонная и ограниченная, то ряд

справа сходится, именно, к этой функции f(х).

Если

f(х) – четная функция, то она расклады-

если f(х) –

нечетная функция,

вается в ряд Фурье только по косинусам, при

то она раскладывается только по

этом

π f ( x) dx ,

2 π

f ( x)cos nx dx ,

синусам,

при

этом a0 = 0 ,

π 0∫

= 0 , b

f ( x)sin nx dx .

b = 0 ;

∫

Если

2ℓ –

периодическая функция f(х)

задана на

[−ℓ, ℓ] ,

то ряд Фурье имеет вид

∞

+ ∑

cos

x + b

sin

n=1

ℓ

где a =

ℓ

f ( x) dx ,

ℓ

f ( x)cos

nπ

x dx ,

b =

ℓ

f ( x)sin

nπ

x dx .

∫

ℓ

−ℓ

ℓ−ℓ

ℓ

−ℓ

ℓ

190

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3319 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf