Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4. В резервуаре первоначально содержится А кг вещества, раство- ренного в В л воды. Затем каждую минуту в резервуар поступает М л во- ды и вытекает N л раствора (M > N), причем концентрация сохраняется равномерной путем перемешивания. Найти количество вещества в резер- вуаре через Т мин после начала процесса.

		N

	B	M − N
Ответ: x (T ) = A			.
Ответ: x (T ) = A			.
	B + (M - N )T

5. Скорость распада радия пропорциональна его количеству. В те- чение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

Ответ: через 1575 лет. 6. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности темпера- тур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость

температуры Т от времени t, если тело, нагретое до Т0 градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам.

Ответ: T = a + (T0 - a)e−kt . 7. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угло- вой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со скоростью 3 об/с.

Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/с?

	3	t
	3	120
Ответ: w = 5 ×			об/с; через 6 мин 18 с.
Ответ: w = 5 ×	5		об/с; через 6 мин 18 с.
	5

8. В помещении цеха вместимостью 10800 м3 воздух содержит 0,12 % углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04 % углекислоты, в количестве 1500 м3/мин. Предполагая, что концен- трация углекислоты во всех частях помещения в каждый момент времени одна и та же, найти содержание углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов.

Ответ: 0,06 %. 9. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и на-

пряжением U удовлетворяет уравнению L				di		+ Ri = U .	Найти силу тока i			в

момент времени t, если U = E sin t и i = 0				dt
			при t = 0 (L, R, E, w - постоянные).
		E					−	R	t

Ответ: i =					R sin wt - Lwcos wt + Lwe L					.
	R2
		+ L2w2

111

10. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изо- ляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k = 0,00017. Температура трубы равна 160°, температура внешнего покрова 30°. Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количе- ство теплоты, отдаваемой 1 м трубы.

Ответ: T = 591,8 − 431,8lg x ; количество теплоты, отдаваемое в те-

чение суток, равно 1 730 000 кал.

Указание: Если тело находится в стационарном тепловом состоя- нии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной коор- динаты х, то, согласно закону теплопроводности Фурье, количество тепло-

ты, испускаемое в секунду,

Q = −kF ( x)

= const , где F(x) – площадь се-

чения тела на расстоянии х,

k – коэффициент теплопроводности.

11.

Найти решение уравнения x2 y′ + sin 2 y = 1,

удовлетворяющее

условию

y → 11 π при x → ∞ .

2 + x

Ответ: y = arctg

2 − x

′

12.

Найти общий интеграл уравнения y

ϕ′

	y		x
Ответ: ϕ		= Ce		.

	x

13.

Пусть у1 и у2 –

два различных

решения

уравнения

y′ + p ( x) y = f ( x). Доказать, что

y = y1 + C ( y2 − y1 )

является общим ре-

шением этого же уравнения.

14.

Подходящей заменой уравнение yy′sin x = cos x (sin x − y2 )

све-

сти к линейному и найти его общий интеграл.

Ответ: y =

sin3 x + C .

sin x

15.

Проинтегрировать уравнение Лагранжа y = 2xy′ + y′2 .

Ответ: x =

−

p ,

y =

2C − p3

3 p

112

16. Проинтегрировать уравнение Клеро y = x × y′ + y′ .

Ответ: y = Cx + C . 17. Доказать, что функция у = 1 является особым решением диффе-

ренциального уравнения y¢ = 1 - y2 .

18.Доказать, что кривая, у которой угловой коэффициент в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.

19.Докажите, что если все интегральные линии некоторого диффе- ренциального уравнения подобны между собой с центром подобия в нача- ле координат, то это уравнение однородное.

20.	Решить комплексное дифференциальное уравнение		z′ = λz , где
z = x + iy	– комплексная неизвестная функция действительного перемен-
ного t, а	λ = α + iβ – комплексное число.
		αt	cos(bt + j),
	x = r × e		cos(bt + j),
	Ответ:		sin (bt + j).
	y = r × eαt		sin (bt + j).

V.	Дифференциальные уравнения высших		порядков,

допускающие понижение порядка

1. Краткий теоретический обзор с использованием лекционного ма- териала, графической схемы, информационной таблицы. Будем различать дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка, трех видов:

а)

вида

y(n) = f ( x) ,

решается n-кратным интегрированием;

б)

не

содержащее

в явном виде

неизвестную

функцию

у,

F (x, y(k ) , y(k +1) ,..., y(n) ) = 0 .

Замена

z = y(k ) ,

z = z ( x) , понижает порядок

уравнения до

(n - k ) .

в) не содержащее в явном виде независимую переменную; замена

y′ = p ( y ) понижает порядок на единицу.

2. Два студента у доски (параллельно) решают задачу:

Найти

ча-

стное решение дифференциального уравнения y¢¢¢ =

ln x

удовлетворяю-

щее начальным условиям:

у(1)=0,

y′(1) =1, y′′(1) = 2 .

Ответ: y = -

ln2 x +

x2 - 2x +

113

3. Студенты самостоятельно решают пример:

y¢¢ = x × e− x , у(0) = 1, y′(0) = 0 .	Ответ: y = ( x + 2) e− x + x -1.
4. Обучающая задача 1	(решает у доски преподаватель). Пу-

ля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/с, а вылетает, пробив его, со скоростью 60 м/с. Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату скорости движения. Найти время движения пули через брус.

Решение. На основании второго закона динамики

F = ma .

По ус-

ловию задачи сила

F = -kv2

(она направлена против движения пули). Со-

ставляя уравнение, получим

ma = -kv2 .

d 2S

Так как

v =

a =

то

= -k

dt2

k dS 2

d 2S

dS 2

= -

. Тогда

= -a

, где a =

, т.е. мы получили не-

dt2

полное дифференциальное уравнение вида

y′′ = f ( y′) ,

решим его мето-

дом понижения порядка путем введения новой искомой функции.

= p (t ),

d 2S

. Наше уравнение примет вид

= -ap2 .

dt2

Разделяя переменные p и t, получим

= -a dt

∫

= -a∫dt + C1

= -at + C1 .

Подставим

p =

тогда

= -at + C

dS =

at - C1

d (at - C1 )

S =

∫

+ C2 S =

at - C1

+ C2 .

at - C

Используем начальные условия: при

t = 0,

S = 0

= 200 м/с.

Так как

, то имеем систему

- C

0 =

+ C2 ,

C = -

200

= - C .

200

= -

C2 =

ln 200.

200

114

В результате получаем частное решение, изображающее уравнение движения в условиях задачи

	1			1		1			1		1			1	ln (200at +1).

S =		ln	at +		+		ln 200	=		ln at +		200	=
	a					a			a					a
				200							200

Решим уравнение

S =

ln (200at +1)

относительно t.

aS = ln (200at +1) 200at +1 = eaS

t =

eaS -1

200a

Неизвестный коэффициент

a определим из дополнительного усло-

вия: при S = h = 12 см = 0,12 м.

= 60 м/с.

× 200a =

200

Подставим

t =

eaS

-1

тогда

200at +1

200a

200at +1

200

-1 +1

200a ×

-1

200a

Подстановка дополнительного условия приводит к равенству

60 =

200

ea×0,12 =

0,12a = ln

a =

»10,03 .

ea×0,12

0,12

Таким образом, имеем t =

eaS -1

e10,03×0,12 -1

3,3321 -1

= 0,00116 с.

200a

200 ×10,03

2006

Итак, время прохождения пули через брус равно 0,00116 с (немно-

гим более тысячной доли секунды).

5. Два студента у доски решают примеры:

а) y¢¢ -

y′

= x ( x -1) , y (2) =1, y′(2) = -1.

(3x4 - 4x3 - 36x2 + 72x + 8).

Ответ: y =

б)

y′′′( x -1) - y′′ = 0 ,

y (2) = 2 ,

y′(2) =1,

y′′(2) =1.

Ответ: y =

(x3 - 3x2 + 6x + 4).

Обучающая задача 2

(решает преподаватель у доски). Ре-

шить уравнение

y¢2 + yy¢¢ = yy¢ .

115

Решение.

Это

дифференциальное

уравнение,

не

содержащее

в явном виде

независимую переменную

х. Положим

y′ = p ( y )

y¢¢ =

× p . Тогда уравнение принимает вид

dy dx dy

p2 + y ×

p = y × p p p

+ y

- y = 0 .

Полагая

p ¹ 0 ,

получим

p + y

- y = 0

p =1, т.е. по-

лучили линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решаем

его методом Бернулли.

p = u ( y )v ( y )

′

= u v

+ uv

v¢ +

v = 0,

тогда

u¢v + uv¢ +

uv =1

u¢v + u v¢

u¢v =1.

Решаем первое уравнение системы

v¢ +

v = 0

= -

= -ln

v =

Тогда второе уравнение системы

du = ydy

u =

- C2 .

принимает

вид

Теперь

p = u ( y ) × v ( y ) =

- C

- 2C2

p =

Но

поэтому

2 y

d ( y

- 2C2 )

- 2C2

2 ydy

= dx

= ∫dx + ln 2C1

∫

2 y

2C2

y2 -

2C2

y2 - 2C

= ln ex + ln 2C

y2 - 2C

= 2C ex

= C ex + C

–

общий

интеграл данного дифференциального уравнения.

Замечание. Это уравнение можно проинтегрировать более про-

стым способом, т.к. его левая часть

y¢2 + yy¢¢ = ( yy¢)¢,

т.е. уравнение при-

нимает

вид

( yy¢)¢ = y × y¢

или

d ( yy¢)

= dx

ln ( yy′) = x + ln C

yy¢

y × y¢ = C ex

т.е

ydy = C exdx

= C ex + C

116

7. Студент у доски решает дифференциальное уравнение

			y¢¢ = y¢ × e y , y (0) = 0 , y′(0) =1.
						Ответ: y = -ln				1 - x		.
						Ответ: y = -ln				1 - x		.
8.	Студенты самостоятельно решают примеры:
а)	y × y¢¢ - y¢2 = 0 .			Ответ: y = C2eC1x .
б)	y′′′ = 2( y′′ -1)ctg x .			Ответ: 2 y = C cos 2x + (1 + 2C ) x2				+ C	x + C .
					1		1	2			3
в)	yIY =	8	.	Ответ: y =	1	+ C x3	+ C x2 + C x + C .
в)	yIY =	( x - 3)5	.	Ответ: y =	3( x - 3)	+ C x3	+ C x2 + C x + C .
		( x - 3)5			3( x - 3)	1	2	3	4
						1	2	3	4

Домашнее задание

1.Подготовка теоретического материала по теме «Линейные одно- родные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами».

2.Решить следующие примеры:

а)

x2 y¢¢¢ = y¢¢2 .

Ответ: 2 y = C x2 - 2C 2 ( x + C )ln

x + C

+ C

x + C .

Ответ: y = (C + arctg x) x - ln

б)

y¢¢ =

1 + x2 + C

1 + x2

в)

y¢¢ = e2 y , y (0) = 0 ,

y′(0) =1.

Ответ: y = -ln

x -1

Решить задачу: с высоты падает тело массы

m с начальной ско-

ростью

v (0) = 0 . Найти скорость тела

v = v (t )

в любой момент времени t,

если на него,

кроме силы тяжести P = mg ,

действует сила сопротивления

воздуха, пропорциональная скорости

v(t)

с коэффициентом пропорцио-

нальности k = 1,5.

−1,5

Ответ: v =

1 - e

m .

Решить задачу:

Кривая, проходящая через точки

А(5,

В(6, 6), имеет радиус кривизны R = 5. Найти уравнение этой кривой.

(1 + y¢2 )

y = f ( x) : R =

Указание:

радиус кривизны кривой

y¢¢

Ответ: ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 25 .

117

VI. Линейные однородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

1.Краткий теоретический обзор с использованием лекционного ма- териала, графической схемы и информационной таблицы линейных одно- родных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Отдельно остановиться на дифференциальных уравнениях с постоянными

коэффициентами второго порядка

y′′ + py′ + qy = 0 ,

где p и q – постоянные действительные числа. Для решения такого урав-

нения составляется характеристическое уравнение

k 2 + pk + q = 0 ,

в зави-

симости от корней которого могут быть следующие три случая:

а)

D > 0

− q

, тогда

y = C ek1x + C

ek2 x , где k ¹ k

;

б)

D = 0

= k

= −

, тогда y = ek1x

(C + C

x) ;

в)

D < 0

= a ± ib , тогда y = eαx (C cosβx + C

sin βx).

1,2

Обучающая задача 1

(решает

преподаватель

доски).

Найти закон движения и определить период

Т математического маятника

длиной l при малых отклонениях.

Решение.

Силу тяжести

М разложим на две состав-

в точке

ляющие: N

по направлению нити и F

– по касательной к траектории. Си-

уравновешивается сопротивлением нити и,

таким образом, вся сис-

ла N

тема сил эквивалентна силе F

F = P sin α = mg sin α ,

где m –

масса маятника; g –

ускорение силы тяжести.

Так как для положительных углов α

	l
	α
	M
	S
A	α	N
A		N

касательная составляющая F направлена в отрицательную сторону, то F = −mg sin α ≈ −mgα (при малых отклоне-

ниях нити sin α α).

Ввиду очевидного равенства			α =	S	,

				l
	mg
составляющая F = −		S . Здесь S = AM –

118

длина пройденного шариком криволинейного пути. На основании второго закона динамики ( F = ma )

d 2S

= -

S ,

или

d 2S

S = 0 .

dt2

Для решения последнего уравнения составим и решим характеристи-

ческое уравнение k 2 +

= 0

2 = -

= ±

-1

1,2

(i =

) . a = 0, b =

-1

Общее решение имеет вид S = C sin

t + C cos

t .

Используем начальные условия: при t = 0, S = а и

= 0 .

= C

cos

t - C

sin

t . Получаем систему:

a = C

C = 0,

= C

C2 = a.

Подставляя эти значения в общее решение, получим

S = a cos

t ,

где а – амплитуда колебания.

Движение математического маятника представляет собой гармони-

ческое колебание с периодом

T = 2p

, так как

cos

t + 2p

= cos

t + 2p

= cos

t .

	3.	Два студента у доски (параллельно) решают примеры:
а)	y′′ − y′ − 2 y = 0 .		Ответ: y = C1e2 x + C2e− x ;
б)	y′′ + 25 y = 0 .		Ответ: y = C1 cos5x + C2 sin 5x ;
в)	y′′ +	3y′ = 0 , y (0) =1, y′(0) = 2 .	Ответ: y =	1	(5 - 2e−3x ).

			3

119

4. Студенты самостоятельно решают примеры.

Найти решения уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

а)

б)

	π		π
y′′ − 2 y + 10 y = 0; y		= 0, y′
	6		6

	π	= 1.
y′′ + 9 y = 0; y (0) = 0, y		= 1.
	4

= e 6 . Ответ: y = − 1 ex cos3x . 3

Ответ: y = 2 sin 3x .

	π			1
в) y′′ + y = 0; y′(0) = 1, y′		= 0 .	Ответ: y = sin x +		cos x .
в) y′′ + y = 0; y′(0) = 1, y′		= 0 .	Ответ: y = sin x +		cos x .
	3			3

Обучающая задача 2 .

Найти интегральную кривую диф-

ференциального уравнения

y′′ − y = 0 , касающуюся в точке

О(0,0)

пря-

мой у = х.

y = C e− x

Решение.

k 2 −1 = 0

k 2 = 1

= ±1,

+ C

–

об-

1,2

щее решение. Из условия задачи следуют начальные условия:

y (0) = 0 ,

y′(0) = 1

( y′ = k = tg α = 1 для прямой

у = х и касательной в точке

О(0,0)

к искомой кривой).

Тогда имеем 0 = C1 + C2 ,

Найдем y′ = −C1e− x + C2ex .

2C2 = 1

1 = −C1 + C2.

C = −

. Итак,

y = −

e− x

–

искомое частное решение.

6. Обучающий пример 1 .

Найти общее решение уравнения

yIY + 4 y′′ + 3y = 0 .

Решение.

k 4 + 4k 2 + 3 = 0

– характеристическое уравнение. Пусть

k 2 = λ

λ2 + 4λ + 3 = 0

λ = −3 ,

= −1. Тогда

k 2 = −3

= ±

k 2 = −1 k

= ± i . Имеем

3 i ;

1,2

3,4

y = C1 cos

x + C2 sin

x + C3 sin x + C4 cos x –

общее решение.

7. Студенты самостоятельно решают примеры:

а)

yIY + 2 y′′′ + y′′ = 0 .

Ответ: y = C1 + C2 x + (C3 + C4 x) e− x ;

б)

yY + 8 y′′′ + 16 y′ = 0 .

Ответ: y = C1 + C2 cos 2x + C3 sin 2x + x (C4 cos 2x + C5 sin 2x) ;

в)

yYI + 2 yY + y IY = 0 .

Ответ: y = C + C

x + C x2

+ C x3 + e− x (C

+ C x) .

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf