14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

′ ′′ …

(n)

) = 0 ,

Уравнение вида

F (x, y, y , y ,

, y

где n > 1,

называется

дифференциальным уравнением n-ного порядка. Уравнение

(n)

′ …

(n−1)

)

y

= f (x, y, y ,

, y

(9.11.1)

называется уравнением

n-ного порядка, разрешенным относительно стар-

шей производной y(n) .

Всякому решению дифференциального уравнения

уравнения

n-ного порядка зависит от n произвольных постоянных С1,

С2, …, Cn.

Оно имеет вид y = ϕ( x, C1, C2 ,…, Cn ) , где ϕ – n раз диффе-

С1, С2, …, Cn.

Одним из таких условий является задание значений неиз-

вестной функции и ее первых

n− 1

производных в некоторой точке x0

интервала (a, b), на котором определено решение уравнения:

y ( x0 )

′

′

y

′′

′′ …

y

(n −1)

(n −1)

, (9.11.2)

= y0 , y

( x0 ) = y0 ,

( x0 ) = y0 , ,

( x0 ) = y0

′

′′…

(n−1)

где

y0 , y0 ,

y0

,

y0

– заданные числа.

f (x, y,

′ …

(n−1)

)

Если функция

y , , y

непрерывна в окрестности точки

′

′′ …

(n−1)

)

n+1

(x0 , y0 , y0 ,

y0 ,

, y0

и

имеет непрерывные производные

∂f

∂f

∂f

∂y ,

,…,

, то существует единственное решение уравнения, опре-

∂y′

∂y(n−1)

I.

Уравнение вида

y(n)

= f ( x) .

(9.12.1)

Порядок этого уравнения понижается всякий раз на единицу путем

последовательного интегрирования:

y(n−1) =

x

( x)dx + C ,

∫

f

1

x0

x x

y(n−2) = ∫

∫

f ( x)dx dx + C1 ( x − x0 ) + C2 ,

x0 x0

y(n−3) =

x

x

x

f ( x)dx dx dx + C ( x − x0 ) + C

( x − x

) + C ,

∫

∫

∫

2

1

2!

0

3

x0 x0 x0

………………………………………………………………

n−1

( x − x0 )

−2

……….,

x

x

( x − x0 )

n

+…+ Cn−1 ( x − x0 ) + Cn .

y = ∫ …∫ f

( x)dx…dx + C1 (n −1)!

+ C2 (n − 2)!

x0

x0

′

′

y

′′

′′ …

, y

(n −1)

(n −1)

.

Подставляя

эти условия

y

( x0 ) = y0 ,

( x0 ) = y0 ,

( x0 ) = y0

x0

= 0 )

снизу вверх, получим (так как ∫

x0

′

(n−1)

C1

= y0 .

Cn = y0 , Cn−1 = y0 , …,

Пример 9 . 1 2 . 1 .

Найти частное решение уравнения y′′′ = sin (kx) ,

удовлетворяющее начальным условиям y (0) = 0 , y′(0) = 1,

y′′(0) = 2 .

x

Решение.

Так как х0 = 0,

y′′ = ∫sin (kx)dx + C1

0

y′′ = −

1

cos kx

x

+ C1 y′′ = −

1

cos kx +

1

+ C1 . Подставляем начальное ус-

k

k

0

k

ловие

y′′(0) = 2 .

2 = −

1

+

1

+ C

С1 = 2, т.е. y′′ = −

1

cos kx +

1

+ 2

k

k

1

k

k

1

x

1

x

x

y = −

∫sin kx dx +

+ 2

∫ x dx + ∫ dx + C3

k 2

0

k

0

0

y =

1

cos kx

x +

1

+ 2

x2

x + x

x + C

k3

2

0

3

0

k

0

y =

1

cos kx −

1

+

1

+ 2

x2

+ x + C .

k 3

k 3

3

k

2

Подставляя последнее начальное условие

y (0) = 0 , получаем 0 = С3.

F (x, y(k ) , y(k +1) ,…, y(n) ) = 0 .

(9.12.2)

Введем новую неизвестную функцию p ( x) = y

(k )

. Тогда

y

(k +1)

′

= p ,

y(k +2) = p′′,

…,

y(n)

= p(n−k ) и уравнение (9.12.2) сводится к уравнению

′ …

(n−k )

) = 0 ,

F (x, p, p

, , p

порядок которого (n − k ) . Решив его,

найдем

функцию

p ( x) = y(k ) , т.е. получим уравнение вида (9.12.1).

Пример 9 . 1 2 . 2 .

Решить уравнение xy′′′ − y′′ = x2 + 1.

Решение.

В уравнении нет неизвестной функции у. Введем замену

y

′′

= p ( x) , тогда

y

′′′

′

и уравнение принимает вид

xp

′

− p = x

2

+ 1

или

= p

′

′

′

′

′

1

x2

+ 1

p = uv , p

= u v

+ uv

u v + uv

−

uv

=

x

x

1

1

x

2

+ 1

v¢ -

v = 0,

x

′

′

=

v

u v + u v

−

x2 +1

x

x

u¢v =

.

x

Решаем первое уравнение системы

dv

-

v

= 0

dv

=

dx

ln

v

= ln

x

dx

x

v

x

(С = 0)

v = x. Подставляя v = x во второе уравнение системы, получим

du

x2 +1

x2 +1

1

1

× x =

du =

dx

u = ∫ 1 +

dx

+ C1

, т.е. u = x -

+ C1 .

dx

x

x

2

x

2

x

Тогда

p = uv, p = x x -

1

+ C

. Так как

p = y′′ , то

y¢¢ = x2 + C x -1.

x

1

1

y¢ =

x3

+ C

x2

- x + C

y =

x4

+ C

x3

-

x2

+ C

x + C – искомое общее

2

6

3

1

2

12

1

2

2

3

решение.

В случае дифференциального уравнения второго порядка

y′′ = f ( x, y′)

замена

y′ = p ( x) , y′′ = p приводит к дифференциальному уравнению пер-

вого порядка

p′ = f ( x, p) .

III. Дифференциальные уравнения,

не содержащие явно независи-

y′′ = f ( y, y′) ,

(9.12.3)

dy

Интегрируя его, найдем р как функцию от

у и произвольной по-

стоянной С1:

p = p ( y,C1 ) .

Но p =

dy

,

поэтому

dx

dy

= p ( y,C )

dy

= dx x =

∫

dy

+ C

.

p ( y,C )

p ( y,C )

dx

1

2

1

1

dy

dp

p = 2 y × p

p

dp

- 2 y

= 0 .

dy

dy

y′ = 0 , т.е.

y′(0) = 0 ¹ 1). Во втором случае

dp

= 2 y

dp = 2 ydy

p = y

2 + C , то есть y¢ = y2 + C .

dy

1

1

Подставляя начальные условия y (0) = y′(0) =1, получаем 1 = 1 + С1,

т.е. С1 = 0, так что y¢ = y2

dy

= y2

dy

= dx

∫dx + C2 = ∫ y−2dy

dx

y2

-

1

= x + C2

y = -

1

. Из начального условия y (0) =1 находим

y

x

+ C2

С2: 1 = -

1

С2 = –1. Таким образом, y =

1

– искомое частное

+ C

- x

0

1

2

решение.

В уравнении общего вида F (y, y¢, y¢¢,…, y(n) ) = 0

замена y′ = p ( y )

α y (a) + α y′(a) = A

1

β y (b) + β

y′(b) = B,

1

ное множество решений, либо не иметь решения.

Пример 9 . 1 3 . 1 .

Решить краевую задачу y′′ = x , y (0) = 0 , y′(1) = 1.

Решение.

y′ =

x2

+ C1 ,

y =

x3

+ C1x + C2 ,

6

2

y (0) = 0 0 = C2 ,

C2

= 0,

x

3

1

то есть y =

+

y′(1) = 1 1 =

1

=

1

x –

искомое един-

+ C1

C1

,

6 2

2

2

ственное решение.

9.14. Линейные дифференциальные уравнения

высших порядков

Определение 9 . 1 4 . 1 .

Дифференциальное уравнение n-го по-

′ …

, y

(n)

, т.е. имеет вид

мой функции у

и ее производных y ,

a y(n)

+ a y(n−1) +…+ a y = f ( x) ,

(9.14.1)

0

1

n

где

a0 , a1, a2 ,…, an , f ( x)

– заданные функции от х

или постоянные,

причем a0 ¹ 0

для всех значений х

из той области, в которой мы рас-

сматриваем уравнение (9.14.1).

f ( x)

В дальнейшем будем предполагать, что функции

a0 , a1, a2 ,…, an и

непрерывны при всех значениях х

и что коэффициент a0 =1 (если

y(n) + a y(n−1) +…+ a y = 0

(9.14.2)

1

n

однородной функцией первого порядка относительно

y, y¢, y¢¢,…, y(n) , так

как ty(n) + a1tyn−1 +…+ anty = t (y(n) + a1 yn−1 +…+ an y )

"t ¹ 0 ).

ТЕОРЕМА 9 . 1 5 . 1 . Если у1

и у2 - два частных решения линей-

ного однородного уравнения второго порядка

y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 ,

(9.15.1)

то у1 + у2 будет решением этого уравнения.

Доказательство.

Так как у1

и у2

– решения (9.15.1), то

′′

′

+ a2 y1 = 0 ,

′′

′

+ a2 y2 = 0 .

y1

+ a1 y1

y2

+ a1 y2

Подставим у1 + у2

в левую часть (9.15.1):

( y + y

2

)¢¢ + a

( y + y

2

)¢ + a

( y + y

2

) =

1

1

1

2

1

= ( y′′

+ a y′

+ a y ) + ( y′′

+ a y′ + a y

2

) = 0 + 0 = 0 ,

1

1

1

2

1

2

1

2

2

ТЕОРЕМА 9 . 1 5 . 2 . Если у1 –

решение уравнения (9.15.1) и С -

постоянная, то Су1

будет тоже решением этого уравнения.

Доказательство.

(Cy )¢¢ + a

(Cy )¢ + a

2

(Cy ) = C

( y¢¢ + a y¢

+ a y ) = C × 0 = 0 .

1

1

1

1

1

1

1

2

1

Определение 9 . 1 5 . 1 .

Два решения уравнения (9.15.1) у1 и у2

будем называть линейно независимыми на отрезке

[a;b] , если их отноше-

ние на этом отрезке не является постоянным, то есть если

y1

¹ const . В

y2

противном случае решения называются линейно зависимыми.

Иными словами, два решения у1 и у2 называются линейными зави-

симыми на [a;b], если

λ = const ,

что

y1

= l

при a ≤ x ≤ b . В этом

y1 = λy2 .

y2

случае

Пример 9 . 1 5 . 1 .

Пусть дано уравнение y′′ − y = 0 . Легко про-

верить, что функции ex ,

e− x ,

3 ex ,

5 e− x

будут решениями этого уравне-

ния. При этом функции ex и

e− x линейно независимы на любом отрезке,

x

так как

e

= e2 x ¹ const

при изменении

х. Функции же

ex и 3 ex ли-

− x

e

нейно зависимы, так как

3ex

= 3 = const .

ex

Определение 9 . 1 5 . 2 .

Если у1

и у2

- функции от х, то опре-

делитель

W ( y , y

) =

y1

y2

= y y¢ - y¢y

1

2

y¢

y¢

1 2

1

2

1

2

Для трех функций вронскиан имеет вид W ( y1, y2 , y3 ) =

y1

y2

y3

y¢

y¢

y¢

и т.д.

1

2

3

y ¢¢

y¢¢

y¢¢

1

2

3

Доказательство. Действительно, если

y2 = λy1 , где λ = const ,

то

′

′

и