Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3322 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Определение 1 0 . 9 . 1 .	Интервалом		сходимости	степенного
ряда называется такой интервал (-R, R), что для всех точек				х, лежащих
внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х,
лежащих вне его, ряд расходится. Число R		называется радиусом сходи-
мости степенного ряда.
На концах интервала (т.е.	при х = R	и	при х = -R) вопрос о схо-

димости или расходимости данного ряда решается индивидуально для ка- ждого конкретного ряда.

Замечание 1 0 . 9 . 1 . Интервалом

сходимости ряда (10.9.2)

по

степеням (х − а)

является интервал (а - R,

а + R) с центром в точке а, так

как из

x - a

< R

a − R < x < a + R .

Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть имеем ряд

C + C x + C

x2 + ... + C

xn + ...

(10.9.1)

Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов

C x

C x2

+ ... +

C xn

+ ...

(10.9.7)

Для определения сходимости этого ряда (с положительными члена-

ми!) применим признак Даламбера.

an+1

Cn+1xn+1

Cn+1

p = lim

= lim

lim

= L

n→∞ an

n→∞

Cn xn

n→∞

Cn+1

где

L = lim

. Тогда ряд (10.9.7) сходится, если

р < 1, т.е

n→∞

L ×

, и

расходится, если

р > 1, т.е. L ×

. Следовательно, ряд (10.9.1) сходится абсолютно при

. Если же

, то lim

an+1

L >1, и ряд (10.9.7) расходится, причем его общий

n→∞ an

член не стремится к нулю. Но тогда и общий член ряда (10.9.1) не стремится

к нулю, а это означает, что этот степенной ряд расходится (при

Из предыдущего следует, что интервал

есть интервал схо-

L L

димости степенного ряда (10.9.1), т.е.

R =

= lim

L n→∞

n+1

211

Аналогичным образом, используя радикальный признак Коши, мож- но получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости.

R =

lim

n→∞

Сn – коэффициент при хn, а не об-

Отметим, что в обеих формулах

щий член ряда a

= C

xn .

Пример 10.9.1. Определить область сходимости ряда

(2x)2

(2x)3

- ....

Решение: Рассмотрим ряд из абсолютных величин:

																												2			x			+		22						x		2 +			23				x			3 + ... +						2n				x		n + ...



																												1									2										3														n
																												1									2										3														n
									2n																2n+1																																C											2n				n +1					1						n +1


	Cn				=									,				Cn+1					=										.		Тогда											R = lim											n				= lim										×				=				lim							=
	Cn				=									,				Cn+1					=					+1					.		Тогда											R = lim															= lim										×	2n+1			=				lim							=
									n																n			+1																						n→∞						Cn+1							n→∞						n			2n+1					2 n→∞							n
		1																		1			1																																																								1 1
=						lim						1 +										=			.					Таким											образом,											интервал сходимости																									-				,		. Ис-
=						lim						1 +										=			.					Таким											образом,											интервал сходимости																									-				,		. Ис-
			2 n→∞																	n			2																																																								2 2
следуем сходимость на концах интервала. При																																																x = -							1			получается ряд:
следуем сходимость на концах интервала. При																																																x = -										получается ряд:
																																																																				2
2				-			1								2		2				-	1	2					2				3			-		1		3
																																																											1				1				1						1
							2															2															2
							2				-											2				+											2						- ...						-1 -												-				-					- ... -				- ...						или
				1							-										2					+									3								- ...						-1 -												-				-		4			- ... -				- ...						или
				1																	2														3																							2				3					4						n
									1						1						1							1
-		1 +										+					+					+	... +									+ ...				,				который расходится, как гармонический ряд.
-		1 +							2			+			3		+				4	+	... +						n			+ ...				,				который расходится, как гармонический ряд.
									2						3						4								n
									Пусть, далее x =																								1		, тогда из данного степенного ряда получаем зна-
									Пусть, далее x =																										, тогда из данного степенного ряда получаем зна-
																																	2
																																	2 ×				1								2 ×		1		2								2 ×	1			3
																																																																												1				1				1
																																																										2
																																						2
кочередующийся ряд																																						2		-							2						+									- ...								1 -								+				-			+ ... ,
кочередующийся ряд																																								-						2							+				3					- ...								1 -								+				-			+ ... ,
																																			1											2											3																		2				3				4
который															сходится															по					теореме													Лейбница.													Ряд								абсолютных величин
1 +					1			+		1			+			1			+ ... +					1			+ ... , как известно, расходится.
1 +								+					+						+ ... +								+ ... , как известно, расходится.
				2					3						4									n
																																														1	1																			1
																										Ответ:																-					,							–			при				x =									ряд условно сходится.
																										Ответ:																-					,							–			при				x =									ряд условно сходится.
																																														2	2																			2

212

Пример 10.9.2. Определить область сходимости ряда

x +

+ ... +

+ ...

Решение:

R = lim

= lim

×(n +1)! =

n+1

+1)!

n→∞

n→∞ n!

(n +1) = ¥ . Таким образом, (-¥, +¥)

= lim

– область сходимости.

n→∞

Пример 10.9.3. Определить область сходимости ряда

1 + x + (2x)2 + (3x)3 + ... + (nx)n + ...

Решение:

= (nx)n = nn × xn

= nn .

Применим формулу

R =

= 0 .

Значит, ряд расходится при всех зна-

lim n

n→∞

чениях х, кроме х = 0.

Замечание 1 0 . 9 . 2 . Если имеется ряд не по степеням xn , а, на-

пример, по степеням x2n , x3n+1 и т.д., то формулы для нахождения радиуса сходимости R применять нельзя, а нужно рассмотреть ряд из абсолютных величин соответствующих членов и применить сам признак Даламбера или признак Коши.

Пример 10.9.4.

Найти область сходимости ряда

∞

x2n

∑

n=1 4n

∞

Решение:

Рассмотрим ряд из абсолютных величин ∑

и приме-

n=1

ним признак Даламбера:

2(n+1)

2n+2−2n

p = lim

an+1

= lim

n→∞

n+1

n→∞ 4

Ряд сходится, причем абсолютно, если р < 1, т.е.

x2 < 4

< 2 , −2 < x < 2 –

интервал сходимости,

R = 2.

Если

бы

мы

ошибочно подумали,

что

то

по

формуле

R =

= 4 .

lim n

lim

n→∞

n→∞ 4n

213

Исследуем сходимость на концах интервала. Пусть х = 2, тогда ряд

∞

∑

= ∑1 = 1 + 1

+ 1 + ...,

lim a = lim 1 =1 ¹ 0 ряд расходится.

n=1 4n

n=1

n→∞

∞

(−2)2n

∞ 4n

∞

Пустьх= −2, имеемряд ∑

= ∑

= ∑1 такойже, каки при х= 2.

n=1

n=1 4n

n=1

Таким образом, (−2, 2) –

область сходимости данного ряда.

10.10.

Интегрирование и дифференцирование

степенных рядов

ТЕОРЕМА 1 0 . 1 0 . 1 .

Степенной ряд

C + C x + C

+ ... + C

xn + ...

(10.10.1)

мажорируем на любом отрезке [-ρ, ρ], целиком лежащем внутри его интер- вала сходимости (-R, R).

Доказательство.

По условию ρ < R, а потому числовой ряд (с

положительными членами)

ρ +

ρ2

+ ... +

ρn + ...

(10.10.2)

сходится. Но при x < ρ члены ряда (10.10.1) по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда (10.10.2). Следовательно, ряд

(10.10.1) мажорируем на [-ρ, ρ].

Следствие 1 . На всяком отрезке, целиком лежащем внутри ин- тервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.

Следствие 2 . Если пределы интегрирования α и β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда, так как область интегрирования

можно заключить в [-ρ, ρ], где ряд мажорируем.
Следствие 3 .	Если степенной ряд
S ( x) = C		+ C x + C			x2	+ ... + C	xn		+ ...	(10.10.1)
	0		1	2		n
имеет интервал сходимости (-R, R), то ряд
ϕ( x)	= C + 2C		x + 3C x2			+ ... + nC		xn−1 + ... ,		(10.10.3)
	1	2		3			n

полученный почленным дифференцированием ряда (10.10.1), имеет тот же интервал сходимости (-R, R), при этом

ϕ( x) = S′( x), если x < R .

Ряд (10.10.3) снова можно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз, при этом интервал сходимости не изменяется.

214

10.11. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора

Определение 1 0 . 1 1 . 1 .

Пусть функция

f(x)

в некоторой окре-

стности точки а имеет производные всех порядков.

Степенной ряд по

степеням (х − а)

f (n) (a)

f (a) +

f ¢(a)( x - a) +

f ¢¢(a)

( x

- a)

+ ... +

( x - a)

+ ... =

∞

(n)

(a)

( x - a)n

= ∑

(10.11.1)

n=0

называется рядом Тейлора функции f(x) в точке а. Если а = 0, то ряд

f (0) + f ¢(0) x +	f ¢¢(0)			f (n) (0)
		x2	+ ... +					xn + ... называется рядом Маклорена.
	2!	x2	+ ... +			n!		xn + ... называется рядом Маклорена.
	2!					n!
Эти ряды широко используются для получения приближения f(x) в
окрестности точки х = а. Заметим, что ряд (10.11.1),									составленный для
функции f(x),	может расходиться или сходиться не к функции f(x). На-
			−	1
			−
пример, функция f ( x) =				x	2		если x ¹ 0; в точке		а=0 имеет произ-
пример, функция f ( x) =			e	x	,		если x ¹ 0; в точке		а=0 имеет произ-
							если x = 0
			0,				если x = 0

водные всех порядков, равные нулю. Поэтому ее ряд Маклорена имеет вид 0+0х+0х2+…, который сходится, но не к нашей функции f(x), не равной нулю ни в какой точке х ¹ 0.

Представляет интерес тот случай, когда ряд Тейлора функции f(x) сходится к f(x) в некоторой окрестности точки а.

Из ряда Тейлора (10.11.1) следует, что его n-й частичной суммой яв- ляется многочлен Тейлора

( x) = f (a) + f ¢(a)( x - a) +

¢¢(a)

( x - a)

+ ... +

(n) (a)

( x - a)

Отсюда, если ряд Тейлора сходится к функции

f(x), справедливо ра-

венство

f ( x) = Pn ( x) + rn ( x) ,

где rn ( x)

(10.11.2)

– остаток ряда. Для сходимости ряда Тейлора (10.11.1) к функ-

ции f(x)

необходимо и достаточно выполнения условия

lim r

( x) = 0 ,

(10.11.3)

n→∞ n

где х принадлежит некоторой окрестности точки а.

215

Разложим функцию по формуле Тейлора:

f ( x) = f (a) + f ′(a)( x − a) + f ′′(a) ( x − a)2 + ... +

+ f (n) (a) ( x − a)n + Rn ( x) , n!

где остаточный член представим одним из следующих видов:

R ( x) = f	(n+1) (C )	( x − a)n+1 = f	(n+1) (a + θ( x − a)) ( x − a)n+1	–
n		(n + 1)!	(n + 1)!
n

(10.11.4)

форма Ла-

гранжа (С находится между а и х, 0 < θ <1);

Rn ( x) = 0( x − a n ) – форма Пеано.

Из формулы (10.11.4) и равенств (10.11.2) и (10.11.3) вытекает, что остаток ряда Тейлора rn ( x) равен остаточному члену формулы Тейлора

Rn ( x) , т.е. rn ( x) = Rn ( x), при выполнении условия (10.11.3).

Итак, если ряд Тейлора функции f(x), для которой он составлен, схо- дится в окрестности точки х = 0 к этой функции, то имеет место равенство

f ( x) = f (a) + f ′(a)( x − a) +	f	′′	(a)	( x − a)2 + ... +	f	(n)	(a)	( x − a)n + ...


		2!
						n!

Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет именно данную функ- цию, нужно либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-либо иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции.

10.12. Разложение по степеням х функций ex , sin x, cos x, (1+ x )m

Рассмотрим примеры разложения некоторых функций в ряд Маклорена.

1. f ( x) = ex , а = 0.
Так	как		f ′( x) = f ′′( x) = ... = f (n) ( x) = f (n+1) ( x) = ex ,					а
f ′(0) = f ′′(0) = ... = 1, то
			ex = 1 + x +	x2	+ ... +	xn	+ ...,
			ex = 1 + x +		+ ... +	n!	+ ...,
		xn+1	2!			n!
где R ( x) = eθx		xn+1	(0 < θ < 1) .
где R ( x) = eθx		(n + 1)!	(0 < θ < 1) .
n

216

Покажем, что

lim

xn+1

= 0

для любого

х. Для этого рассмотрим

(n +1)!

n→∞

∞

n+1

степенной ряд ∑

и покажем,

что он абсолютно сходится для всех

(n +1)!

n=0

× (n + 2)! = lim (n + 2) = ¥ .

x R . Действительно, R = lim

= lim

Cn+1

(n +1)!

n→∞

∞

n+1

Так как ряд ∑

сходится для всех х, то из необходимого при-

n=0 (n +1)!

знака сходимости следует, что lim

xn+1

= 0 для всех

x R .

+1)!

→∞

Функция eθx

для всех х £ 0 удовлетворяет неравенству

0 < eθx £1.

Если x Î(0, M ] , то eθx < eM , так как 0 < q < 1.

Тогда R ( x) = eθx ×

xn+1

0 ,

как произведение функции ог-

(n +1)!

n→∞

раниченной на бесконечно малую.

Следовательно, для всех значений х полученный ряд Маклорена сходится и представляет функцию ex .

f ( x) = sin x , а = 0.

¢( x) = cos x = sin x +1

¢¢( x) = -sin x = sin x + 2

3 ×

, …,

¢¢¢( x) = -cos x = sin x +

( x) = sin x = sin x + 4

f(n+1) ( x) = sin x + (n +1) × p .

Тогда f (0) = 0 ,

f ′(0) =1, f ′′(0) = 0 , f ′′′(0) = -1,

f IY (0) = 0 , …

мы имеем разложение f ( x) = sin x

в ряд Маклорена

- ... + (-1)n+1

2n−1

∞

(-1)n+1

2n−1

sin x = x -

+ ... = ∑

(2n -1)!

3! 5!

n=1

где R

( x) = sin C + (n +1) p

xn+1

(С находится между 0 и х).

(n +1)!

217

C +

(n +1) p

£1,

xn+1

lim R

( x) = 0 , так как

sin

lim

= 0 .

n→∞

n→∞ (n +1)!

f ( x) = cos x , а = 0.

Аналогично, как в предыдущем примере, получаем

∞

cos x =1 -

- ... + (-1)n

+ ... = ∑ (-1)n

(2n)!

2! 4!

n=0

(2n)!

где R

( x) = cos C + (n +1) p

xn+1

(С находится между 0

и х).

2 (n +1)!

Очевидно, lim Rn ( x) = 0 .

n→∞

Биномиальный ряд и его частные случаи.

Разложим в ряд Маклорена функцию

f ( x) = (1 + x)m , где

m - произ-

вольное постоянное число.

Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности, и потому к оценке условий разложимости подойдем несколько иначе.

Сначала формально найдем коэффициенты разложения (1 + x)m в ряд Маклорена. f (0) =1; f ¢( x) = m(1 + x)m−1 f ′(0) = m ;

f ¢¢( x) = m(m -1)(1 + x)m−2 f ′′(0) = m(m -1);

f ¢¢¢( x) = m(m -1)(m - 2)(1 + x)m−3 f ′′′(0) = m(m -1)(m - 2) ,

………………………………………………,

f (n) (0) = m(m -1)(m - 2) ×...×(m - (n -1)).

Поэтому

(1 + x)m = x + mx +

m(m -1)

x2 +

m(m -1)(m - 2)

x3 + ... +

m(m -1) ×...×(m - (n -1))

xn + ...

Этот ряд называется биномиальным, найдем его интервал сходимости.

m(m -1) ×...×(m - (n -1))

(n +1)!

R = lim

Cn+1

m(m -1) ×...×(m - (n -1))(m - n)

n→∞

n +1

= lim

-1

=1.

m - n

n→∞

218

Значит, ряд сходится абсолютно при x <1. Покажем, что суммой

этого ряда является (1 + x)m .

В самом деле, нетрудно проверить, что функция f(x), определяемая биномиальным рядом, является решением задачи Коши для дифференци- ального уравнения (1 + x) f ¢( x) = m f ( x) , f(0)=1. Но решением этой же за-


дачи является	функция	y = (1 + x)m , так	как	y¢ = m(1 + x)m−1			и
(1 + x)m(1 + x)m−1 = m(1 + x)m		m(1 + x)m º m(1 + x)m . Отсюда в силу
единственности решения задачи Коши получаем			f ( x) = (1 + x)m ,		x	<1, т.е.

биномиальный	ряд сходится абсолютно в		интервале (-1, 1)				к
f ( x) = (1 + x)m . На концах интервала для некоторых				т ряд сходится, для

некоторых - расходится, об этом сказано в практической части модуля. Заметим, что если m – целое положительное число, то биномиаль-

ный ряд превращается в бином Ньютона.

Рассмотрим частные случаи биномиального ряда:

1)при m = -1 получаем

1=1 - x + x2 - x3 + ... + (-1)n xn + ...;

1+ x

2)при m = 1 имеем

1×3

1×3 ×5

=1 +

x -

x2 +

x3 -

x4 + ...;

1 + x

× 4

× 4 × 6

× 4 × 6 ×8

при m = -

1×3

1×3 ×5

=1 -

x +

x2 -

x3 + ...

1 + x

2 × 4

2 × 4 × 6

Применим разложение биномиального ряда к разложению других

функций. Разложим в ряд Маклорена функцию

f ( x) = arcsin x .

Подставляя в последнее равенство вместо

х выражение -x2 , полу-

чим

=1 +

x2 +

1×3

x4 +

1×3 ×5

x6 + ... +

1×3 ×...×(2n -1)

x2n + ...

1 - x

2 × 4

2 × 4 × 6

2 × 4 ×...× 2n

На основании теоремы об интегрировании степенных рядов получаем:

1×3 x5

1×3 ×...×(2n -

1) x2n+1

∫

= arcsin x = x +

+ ... +

+ ...

2 × 4 5

2 × 4 ×...× 2n

1 - x

2n +1

Этот ряд сходится для −1 ≤ x ≤ 1.

219

10.13. Приложение рядов к приближенным вычислениям

Приближенное вычисление значений функций

Допустим, что функция f(x) в окрестности точки х0 разлагается в ряд Тейлора. Тогда точное ее значение f(x0) может быть вычислено по ря- ду Тейлора, а приближенное ее значение – по частичной сумме этого ряда. Возникающую при этом ошибку можно оценивать при помощи остаточно- го члена Rn ( x0 ) , либо непосредственно оценивая остаток ряда. Если полу-

чился числовой ряд знакочередующимся, то по теореме Лейбница ошибка не превышает первого отброшенного члена ряда, взятого по абсолютной величине; в случае знакоположительного ряда - подбирают другой ряд (обычно геометрическую прогрессию), члены которого больше членов ос- татка и сумму которого можно найти.


Пример 10.13.1.											Вычислить 5 34																			с точностью до 10-4.
																																		1				1
																																								5
Решение. Имеем 5 34 = 5 32 + 2 =																																								5
																												2		1 +									.				Воспользуемся бино-
																												2		1 +									.				Воспользуемся бино-
																																			16
миальным рядом при										x =			1					,	m =		1			.
миальным рядом при										x =								,	m =					.
											16											5
		1		1				1		1						2				1					6						1

	+				5	=1 +			×		-								×			+						×						+ ...
1
1		16						5		16						25
		16						5		16						25			162			125						163
Получили знакочередующийся ряд, остаток которого не превышает
первого отброшенного члена. Так как																												6				×		1				=			3	×		1		<10−3 , то с ука-
первого отброшенного члена. Так как																																×						=				×				<10−3 , то с ука-
																										125						163						8					3200
										1				1						1						1

														5
														5																	=1,0122 , так что 5 34 @ 2,0244 .
занной точностью 1 +																@ 1 +							-
занной точностью 1 +																@ 1 +							-
										16										80 3200
Пример 10.13.2.											Вычислить число е																									с точностью 10-5.
Решение.						ex =1 + x +									x2				+	x3		+ .... Пусть																х = 1.
Решение.						ex =1 + x +													+			+ .... Пусть																х = 1.
																2!				3!
																			e =1 +1 +								1		+				1		+ ... .
																			e =1 +1 +										+						+ ... .
																										2!						3!						xn+1
Остаточный член имеет вид																							R ( x) = eθx															xn+1							(0<q<1).
Остаточный член имеет вид																							R ( x) = eθx																						(0<q<1).
																								n													(n +1)!
																								n
Тогда	R (1) = eθ								1			<							3			<10−5 .
Тогда	R (1) = eθ											<										<10−5 .
			n				(n +1)!										(n +1)!
			n

220

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3322 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf