Прикл мех
.pdf
|
|
Wx |
|
d 3 |
||
круг |
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
32 |
|
квадрат |
|
Wx |
|
a3 |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
прѐмокутник |
Wx |
bh2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
двотавр, швелер |
|
з сортаменту. |
||||
Длѐ балок з крихких матеріалів складаять дві умови міцності:
– |
длѐ зони розтѐгу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
y |
|
|
|
; |
|
|
max |
|
|
p |
p |
||||||
|
|
|
I x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– |
длѐ зони стисканнѐ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
y |
|
. |
|||
|
max |
|
|
c |
|||||||
|
|
|
|
I x |
c |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розподіл нормальних навантажень по перерізу такий, що частина матеріалу, що знаходитьсѐ поблизу нейтральної вісі, майже не навантажена. Найбільш доцільно використовувати двотавровий поперечний переріз, длѐ ѐкого з найменшими витратами матеріалу одержуютьсѐ найбільший момент опору. Приклад 2: Длѐ балки пр.1 підібрати поперечний переріз.
Дотичні напруження при згині
В загальному випадку згину (при поперечному згині) у поперечному перерізі балки виникаять згинальні моменти і поперечні сили.
Наѐвність поперечної сили пов’ѐзана з виникненнѐм дотичних напружень у поперечних перерізах балки, а за законом парності дотичних напружень і в її повздовжніх перерізах.
Розглѐнемо балку прѐмокутного перерізу невеликої ширини. Виріжмо з балки елемент довжиноя dx і шириноя, ѐкі дорівняю ширині балки b. На цей елемент діять наступні сили:
–на грані 344/3/ та 122/1/ діять нормальні та дотичні напруженнѐ;
–на грань322/3/ діять тільки дотичні напруженнѐ, по закону парності рівні дотичним напруженнѐм, ѐкі діять по вертикальним гранѐм.
Дотичні напруженнѐ визначаять за формулоя Д.І.Журавського:
Q S отс
z , b I z
де Szотс – статичний момент площини відсіченої частини відносно нейтральної осі.
По поперечному прѐмокутному перерізу дотичні напруженнѐ розподілѐятьсѐ наступним чином. Найбільші дотичні напруженнѐ діять на рівні нейтральної осі і дорівняять:
max 32 QA .
Длѐ круглого перерізу
max 43 QA .
Умова міцності по дотичним напруженнѐм:
max ,
де * ] – допустимі дотичні напруженнѐ, длѐ стальних балок * ] ≈ * ].
Деѐкі матеріали, наприклад, дерево (вздовж волокон) дуже погано опираютьсѐ зсуву, тому длѐ таких балок перевірка міцності за дотичними напруженнѐми обов’ѐзкова. Також обов’ѐзкова перевірка балок площа перерізу ѐких близька по величині з їх довжини.
Деформації при згині
Щоб робити висновки про робот балок. недостатньо вміти проводити розрахунки тільки на міцність. Може статисѐ таке, що досить міцна балка не буде придатна до експлуатації внаслідок недостатньої жорсткості. Длѐ розрахунків на жорсткість визначаять переміщеннѐ при згині.
Під діюя навантаженнѐ балка викривлѐютьсѐ, перерізи балки зміщуятьсѐ перпендикулѐрно прѐмої вісі і водночас повертаятьсѐ навколо своїх нейтральних осей.
Зміщеннѐ центра ваги перерізу по напрѐмку, перпендикулѐрному до осі балки, називаютьсѐ прогином.
Геометричне місце центрів ваги поперечних перерізів деформованої балки ѐвлѐю собоя зогнуту вісь, ѐка називаютьсѐ пружною лінією. Пружну лінія можна розглѐдати ѐк графік деѐкої функції, ѐка визначаютьсѐ характеристикоя навантаженнѐ балки, її розмірами та матеріалом.
Кут , на ѐкий повертаютьсѐ переріз по відношення до його первісного стану, називаютьсѐ кутом повороту переріза. Кут повороту вважаять рівним куту між дотичноя до пружної лінії у даній точці та вісся недеформованої балки.
Приблизне диференційне рівнѐннѐ пружної лінії:
EI z y M ,
де EI z – жорсткість при згині.
a)
y |
М > 0 |
y |
М < 0 |
|
// |
|
// |
EI z y M
x |
x |
||
б) |
|
|
|
x |
x |
|
|
EI z y M |
|||
|
|
||
|
y |
|
|
М > 0 |
|
|
|
М < 0 |
|||
y |
|
|
|
// |
// |
|
|
Вибір знаку визначаютьсѐ прийнѐтоя системоя координат:
Будемо приймати систему координат а).
Длѐ визначеннѐ кутів повороту та прогинів y необхідно провести інтегруваннѐ
диференційного рівнѐннѐ пружної лінії. Це можливо трьома способами: аналітичним, графічним, графоаналітичним.
Аналітичний спосіб:
Рівнѐннѐ кутів повороту:
EIy Mdx C ,
де С – постійна інтегруваннѐ.
Додатне значеннѐ кута повороту вказую на те, що переріз повертаютьсѐ за напрѐмком проти годинникової стрілки.
Рівнѐннѐ прогинів:
EIy dx Mdx Cx D ,
де D – друга постійна інтегруваннѐ.
Додатне значеннѐ прогину у вказую, що центр ваги перерізу переміщуютьсѐ вгору, тобто в сторону додатних значень ординат у.
Постійні інтегруваннѐ С і D визначаятьсѐ з граничних умов обпираннѐ балки.
y/ = 0
y = 0 |
y = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В багатьох випадках по експлуатаційним міркуваннѐм максимальні прогини обмежуятьсѐ допустимим прогином *у].
Умова жорсткості пари згині:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y . |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
l |
– длѐ підкранових балок (l – проліт балок), |
||
|
|
|
|||||||
|
600 |
|
|
700 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
l |
– длѐ цивільних споруд, |
||
|
|
|
|||||||
|
250 |
|
|
500 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
l |
– в машинобудуванні в залежності від призначеннѐ деталей. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1000 |
|
|
300 |
|
|
|
||
Можна використовуячи штучні прийоми вивести універсальні формули длѐ прогину:
EIy EIy0 |
EI0 x |
M ( x a )2 |
|
F( x b )3 |
|
q( x c )4 |
|
|
|
||||
|
2! |
3! |
4! |
|||
длѐ кута повороту:
|
EIy EI0 |
M ( x a ) |
F( x b )2 |
|
q( x c )3 |
|
|
|
|||
|
|
2! |
3! |
||
y |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x3 |
|
|
|
|
|
x2 |
F |
|
|
|
|
|
|
|
||
x4 |
M |
|
q |
|
|
x
a
b
c
d
Прийоми при використанні універсальної формули:
1.Рівнѐннѐ згинаячого моменту в перерізі складати, розраховуячи момент зовнішніх сил, розташованих між перерізом та початком координат.
2.Інтегрувати рівнѐннѐ без розкриттѐ скобок.
Недолік цього метода в тому, що не можна визначати переміщеннѐ в балках змінної жорсткості (треба умовно перетворявати в постійної жорсткості).
Переміщеннѐ длѐ будь-ѐкої лінійно деформованої системи при буд-ѐкому навантаженні можна визначити методом О.Мора. Цей метод полѐгаю в тому, що окрім заданого (вантажного) стану k, вибираютьсѐ додатковий (фіктивний) стан балки і, навантажений одиничноя силоя, ѐка дію в точці, де визначаютьсѐ переміщеннѐ, і напрѐмлена в напрѐмку переміщеннѐ. Розраховуютьсѐ віртуальна робота зовнішніх та внутрішніх сил фіктивного стану на переміщеннѐх, ѐкі викликані діюя сил вантажного стану.
Будь-ѐке переміщеннѐ (лінійне чи кутове) визначаютьсѐ за формулоя (інтегралом Мора):
l M i M k dx . 0 EI
Замість безпосереднього обчисленнѐ інтеграла Мора можна користуватисѐ графоаналітичним методом (способом перемноженнѐ епяр) – правилом Верещагіна.
l
Інтеграл M i M k dx дорівняю добутку площі епяри Мк ( к) на розташовану під її центром ваги
0
ординату прѐмолінійної епяри M ic :
l
M i M k dx k M ic .
0
Знак вважаютьсѐ додатним, ѐкщо обидві епяри розташовані з одніюї сторони. Результати перемноженнѐ рѐду епяр приводѐтьсѐ у довідниках.
Елементи загальної теорії напруженого стану.
Досліджувати напружений стан в точці – це значить отримати залежності, ѐкі дозволѐять визначити напруженнѐ на будь-ѐкі площадці, що проходить через точку.
Якщо вирізати навколо довільної точки стрижнѐ поперечними і повздовжніми перерізами нескінченоя малий паралелепіпед, на його поперечні гранѐх будуть діѐти тільки нормальні напруженнѐ. Відсутність нормальних напружень на інших гранѐх ю наслідок того, що немаю натисканнѐ повздовжніх волокон одне на інше.
F |
F |
|
|
F |
|
dy |
|
A |
|
|
dz |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
В загальному випадку в нахилених перерізах будуть діѐти нормальні та дотичні напруженнѐ, величину ѐких можна знайти з умови рівноваги:
1 cos2 ,
21 sin 2 .
Максимальні нормальні напруженнѐ будуть досѐгати при = 0, тобто в перерізі, ѐке перпендикулѐрне до осі стрижнѐ, при цьому = 0.
Площадки, по ѐким відсутні дотичні напруженнѐ, а нормальні напруженнѐ маять екстремальні значеннѐ, називаятьсѐ головними площадками. Нормальні напруженні, ѐкі діять по головним площадкам називаятьсѐ головними напруженнями.
При = 900 – |
= 0, = 0 – |
у повздовжніх перерізах немаю на нормальних, ні дотичних напружень. |
|||
При = 450 – |
|
max |
1 |
– |
максимальні дотичні напруженнѐ (при іспитах на розтѐг зразків |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з маловуглецевих сталей на їх поверхнѐх з’ѐвлѐятьсѐ помітні нахилені лінії – наслідки зсуву часток матеріла один відносно другого –лінії Чернова).
По перпендикулѐрним площадкам діять рівні дотичні напруженнѐ – закон парності дотичних напружень:
900 .
У кожній точці навантаженого брусу можна знайти таке положеннѐ паралелепіпеда, при ѐкому три його грані виѐвлѐтьсѐ головними площадками. На двох з них будуть діѐти екстремальні (найбільше та найменше) головні напруженнѐ, а на третій – проміжне.
Приймаять 1 > 2 > 3 .
Якщо всі три напруженнѐ не дорівняять нуля – об’юмний, трьохосний стан.
Якщо одне з напружень дорівняю нуля – плоский, двохосний стан.
Якщо лише одне з напружень не дорівняю нуля – лінійний, одноосний стан.
Деформації, відповідні напруженим станам, розраховуятьсѐ на основі принципу незалежності дії сил на грані елементу.
Зв’ѐзок між відносноя деформаціюя та напруженнѐми при об’юмному напруженому стані – узагальнений закон Гуку:
1 E1 1 2 3
2 E1 2 1 3
3 E1 3 1 2
Теорії міцності
Важливоя задачея інженерних розрахунків ю оцінка міцності по відомому напруженому стану, тобто по відомим головним напруженнѐм.
При лінійному напруженому стані граничне (небезпечне) напруженнѐ легко встановити експериментально:
np T – длѐ пластичних матеріалів,
np B – длѐ крихких матеріалів.
Умова міцності длѐ одноосного напруженого стану:
1 p – розтѐг,
3 c – стиск.
При складному напруженому стані експериментально виѐвити граничні величини головних напружень дуже складно. Длѐ оцінки міцності в умовах будь-ѐкого складного стану, висловляютьсѐ гіпотеза про перевагу впливу на міцність того чи іншого фактора.
В розрахунках на міцність заміняять складний напружений стан рівно небезпечним (еквівалентним) йому одноосним станом і порівняять відповідне напруженнѐ з граничним, отриманим в випробуваннѐх на простий розтѐг.
Гіпотези, ѐкі вказуять на ознаки рівної небезпечності різних напружених станів, називаятьсѐ
|
заміняюмо |
|
порівняюмо |
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
екв |
|
|
|
гран |
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
гран |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
екв |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
теоріѐми міцності.
Перша теоріѐ міцності – теоріѐ найбільших нормальних напружень (доцільна длѐ досить крихких матеріалів):
екв 1 p
екв 3 c .
Друга теоріѐ міцності – теоріѐ найбільших деформацій (доцільна длѐ крихкого стану матеріалу):
екв 1 2 3 .
Третѐ теоріѐ міцності – теоріѐ найбільших дотичних напружень (доцільна длѐ пластичних і крихких матеріалів)
екв 1 3 .
Четверта теоріѐ міцності – енергетична теоріѐ формозміненнѐ (доцільна длѐ пластичних матеріалів):
екв 
12 22 32 1 2 2 3 1 3 .
Згин з крученням
Часто зустрічаятьсѐ випадки навантаженнѐ брусу, коли в поперечних перерізах діять водночас декілька силових факторів (складний опір). При розрахунках на складний опір виходѐть з принципу незалежності дії сил, тобто вважаять, що впливом деформацій, викликаних одніюя з прикладених до пружної системи навантажень, на результат дії інших деформацій можна нехтувати.
На диск, ѐкий закріплений на кінці брусу, дію сила F. Прикладемо в точці О дві рівних і протилежно напрѐмлених сили F. Длѐ сили на брус можна представити крутним моментом пари сил і силоя F , ѐка прикладена в точці О і викликаю поперечний згин.
F
F
x
F
FR
Fl
Небезпечний переріз визначаютьсѐ по епярам крутних та згинальних моментів. Крутний момент викликаю лише дотичні напруженнѐ , максимальні значеннѐ ѐких у точках контуру поперечного перерізу. Згинальний дію в площині YOZ, найбільші напруженнѐ на кінцѐх горизонтального діаметру, вісь Y – нейтральна вісь. Длѐ висновку про міцність необхідно визначити головні нормальні і дотичні напруженнѐ.
В точці А існую плоский напружений стан з головними напруженнѐми:
1 max 12 2 4 2
2 0
3 min 12 2 4 2 .