Угол между двумя прямыми
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: l1: y=k1х+b1, l2: y=k2x+b2, тогда острый угол между двумя прямыми определяется его тангенсом по формуле
.
Если прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, то угол между ними можно найти как угол между их нормальными векторами
.
В случае задания прямых своими каноническими уравнениями
угол между прямыми
находится как угол между направляющими
векторами прямых
.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых (Табл. 2)
Таблица 2
|
№ п/п |
Способ задания прямых |
Условие параллельности прямых |
Условие перпендикулярности прямых |
|
1
|
l1: y=k1х+b, l2: y=k2x+b2 |
k1=k2 |
k1k2= -1 |
|
№ п/п |
Способ задания прямых |
Условие параллельности прямых |
Условие перпендикулярности прямых |
|
2 |
l1: А1х+В1у+С1=0 l2: А2х+В2у+С2=0 |
|
A1A2+B1B2=0 |
|
3 |
l1:
l2:
|
|
m1m2+n1n2=0 |
Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая l задана уравнением Ах+Ву+С=0, точка М0(х0,у0). Расстояние от точки М0(х0,у0) до прямой l определяется как
.
____________
3.1.1. Написать уравнение прямой, отсекающей от оси ОY отрезок, равный 3 и составляющий с осью ОХ угол а) 45; б) 135.
Ответ: у=х+3; у=-х+3.
3.1.2. Написать уравнение прямой, походящей через начало координат под углом 150 к оси ОХ.
Ответ: у=
.
3.1.3. Дан треугольник с вершинами А(-1;1), В(1;5), С(3;-2). Написать уравнения сторон треугольника, определить внутренний угол А.
Ответ: АС: 3х+4у-1=0;
АВ: 2х-у+3=0;
ВС: 7х+2у-17=0;
tgA=-5,5.
3.1.4. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях х координат равные отрезки длиной а единиц.
Ответ:
.
3.1.5. Написать уравнение прямой, проходящей через точки М1(-1;0), М2(1;-3). Уравнение привести к уравнению с угловым коэффициентом.
Ответ: у=
.
3.1.6. Доказать, что точки М1(2;1), М2(-3;3), М3(7;-1) лежат на одной прямой.
3.1.7. Среди прямых 3х-2у+7=0, 6х-4у-9=0, 6х+4у-5=0, 2х+3у-6=0 указать параллельные и перпендикулярные.
3.1.8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(-2;1) параллельно прямой 3х-2у+5=0.
Ответ: 3х-2у+8=0.
3.1.9. Через точку М0(1;-2) провести параллельную и перпендикулярную прямые к прямой 2х+3у-3=0. Написать уравнения прямых.
Ответ: 2х+3у+4=0, 3х-2у-7=0.
3.1.10. Найти расстояние от точки М0(2;-1) до прямой 3х+4у-22=0.
Ответ: 4.
3.1.11. Найти расстояние между параллельными прямыми 4х-3у-7=0 и 4х-3у+3=0.
Ответ: 2.
3.1.12. Найти уравнения прямых, параллельных прямой 12х+5у-7=0 и отстоящих от нее на расстоянии d=3.
Ответ: 12х+5у-46=0, 12х+5у+32=0.
3.1.13. Найти точку В, симметричную точке А(-2;4) относительно прямой 3х+у-8=0.
Ответ: (4;6).
______________
3.1.14. Написать уравнение прямых, отсекающих от оси ОY отрезок b=-3 и составляющих с осью ОХ углы а) 60; б) 120.
Ответ: у =
;
у =
.
3.1.15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2;3) под углом 45 к оси ОХ.
Ответ: у = х+1.
3.1.16. Написать уравнения параллельной и перпендикулярной прямых, проходящих через точку А(1;4) к прямой 2х+у+1=0.
Ответ: 2х+у-6=0, х-2у+7=0.
3.1.17. Найти расстояние от начала координат до прямой 6х+8у+20=0.
Ответ: 2.
3.1.18.Найти угол между прямыми у = 2х-3 и х-2у+2=0.
Ответ:
.