§2.4. Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, то есть произведение вида или иначе .

Свойства смешанного произведения

1. =.

2. .

3. .

4. .

Если три вектора заданы своими координатами в ортонормированном базисе как , то

.

Применение смешанного произведения

1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , V_парал.=| |.

2. Объем пирамиды, построенной на векторах , V_пир.=| |.

3. Условие компланарности трех векторов =0.

___________

2.4.1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки А(1;2;3); В(0;-1;1); С(2;5;2); Д(3;0;-2).

Ответ: 4.

2.4.2. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 24.

2.4.3. Доказать, что векторы компланарны. Ответ:

2.4.4. Доказать, что точки А(2;-1;-2); В(1;2;1); С(2;3;0); Д(5;0;6) лежат в одной плоскости.

Ответ: не лежат.

_______________

2.4.5. Задана пирамида с координатами своих вершин: А(2;0;0); В(0;3;0); С(0;0;6) и Д(2;3;8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.

Ответ: 14; .

2.4.6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 51.

2.4.7. Проверить компланарность векторов .

Ответ: компланарны.

Глава III. Аналитическая геометрия

§ 3.1. Прямая линия на плоскости

Уравнением линии на плоскости ХОУ называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Простейшей из линий является прямая.

Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений (табл. 1).

Таблица 1

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечания
1	Уравнение с угловым коэффициентом y=kx+b	k – тангенс угла  наклона прямой к положительному направлению оси ОХ; b – отрезок, отсекаемый прямой от оси ОY	≠π/2
2	Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0	А,В – координаты вектора, перпендикулярного прямой (нормального вектора) N.	А,В не равны нулю одновременно
3	Уравнение прямой, про-ходящей через данную точку в данном направ-лении у-у0=k(х-х0 )	т.М(х0,у0) – заданная точка; k – угловой коэффициент прямой	При различных k уравнение называется уравнением пучка прямых с центром в точке М(х0,у0)
4	Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки	т.М1(х1,у1), т.М2(х2,у2) – заданные точки
5	Уравнение прямой в отрезках на осях х .	а,b – отрезки, отсекаемые прямой от координатных осей ОХ и ОY соответственно	а≠0, b≠0
6	Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору	т.М0(х0,у0) – заданная точка; m,n – координаты вектора, параллельного искомой прямой ( направляющего век-тора)	Такое уравнение часто называют каноническим
№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечания
7	Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору А(х-х0)+В(у-у0)=0	т.М0(х0,у0) – заданная точка, А,В – координаты нормального вектора искомой прямой