§ 3.3. Общее уравнение кривых второго порядка Преобразование уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

Ах²+2Вху+Су²+2Dх+2Еу+F=0, (1)

где коэффициенты А, В, С одновременно в ноль не обращаются.

С помощью преобразования системы координат уравнение (1) может быть приведено к простейшему (каноническому) виду.

Если в уравнение (1) коэффициент В=0, то оно имеет вид

Ах²+ Су² +2Dх+2Еу+F=0. (2)

К канонической форме уравнение (2) преобразуется с помощью параллельного переноса координатных осей по формулам

, (3)

где (х₀;у₀) – координаты нового начала О’ системы координат относительно старой системы. Новые оси О’Х’, О’Y’ параллельны старым осям.

После подстановки формул (3) в уравнение (2) выделяются полные квадраты по переменным х’ и y’.

Если в уравнение (1) В≠0, то путем поворота координатных осей на некоторый угол , определяемый формулой

, (4)

можно исключить слагаемое, содержащее произведение текущих координат. Для этого необходимо подставить sin и cos в формулы поворота координатных осей:

. (5)

Затем следует выражение (5) подставить в уравнение (1).

______________

3.3.1. Привести к каноническому виду уравнение 4х²+5у²+20х-30у+10=0. Построить кривую.

Ответ: .

3.3.2. Преобразовать уравнение 3х²-ху+у²+6х+у-4=0 к каноническому виду. Построить кривую.

Ответ: .

________________

3.3.3. Привести к каноническому виду уравнение 5х²-4у²+16у-36=0. Построить кривую.

Ответ: .

3.3.4. Привести к каноническому виду уравнение х²+2ху+у²=. Построить кривую.

Ответ: у= -х².

_______________

§ 3.4. Плоскость в пространстве

Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 4.)

Таблица 4

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
1	Уравнение плоскости, проходя-щей через данную точку пер-пендикулярно заданному век-тору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0	(x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора	Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости
2	Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0	D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости; х0,y0,z0 – координаты данной точки	Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными преобразованиями
3	Уравнение плоскости, проходя-щей через три заданные точки	М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами	Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой
4	Уравнение плоскости в отрезках на осях	а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат	аbc≠0

Пусть даны две плоскости ₁ и ₂:

₁: А₁х +В₁у+С₁z+D₁=0,

₂: А₂х +В₂у+С₂z+D₂=0.

Угол между двумя плоскостями определяется как .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

=0, то есть =0.

Условие параллельности двух плоскостей:

или .

Расстояние от точки до плоскости:

,

где Ах+Ву+Сz+D=0 – заданная плоскость; М(x₀,y₀,z₀) – данная точка.

_________________

3.4.1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;2;3) перпендикулярно вектору .

Ответ: х-2у-3z+14=0.

3.4.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(2;3;-1), М₂(1;5;3) перпендикулярно плоскости 3х-у+3z+15=0.

Ответ: 2х+3у-z-14=0.

3.4.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-2;7;3) параллельно плоскости х-4у+5z+1=0.

Ответ: х-4у+5z+15=0.

3.4.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2;-3;1) параллельно векторам .

Ответ: х+у-z+2=0.

3.4.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2;2;-2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3х-2у-z+1=0 и х-у-z=0.

Ответ: х+2у-z-8=0.

3.4.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(3;-1;2), М₂(4;-1;-1), М₃(2;0;2) .

Ответ: 3х+3у+z-8=0.

3.4.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и точку М₀(1;-2;1).

Ответ: 2х+у=0.

3.4.8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2;3;-4) параллельно плоскости YOZ.

Ответ: х-2=0.

3.4.9. Найти расстояние от точки М₁(2;-1;-1) до плоскости 16х-12у+15z-4=0.

Ответ:1.

3.4.10. Найти угол между плоскостями х+у-1=0 и 2х-у+z+1=0.

Ответ: .

_______________

3.4.11. Даны точки М₁(0;-1;3), М₂(1;3;5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору .

Ответ: х+4у+2z-2=0.

3.4.12. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0;-5;0) и (0;0;2) перпендикулярно плоскости х+5у+2z-10=0.

Ответ: 2у-5z+10=0.

3.4.13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-2;1;4) параллельно плоскости 3х+2у-7z+8=0.

Ответ: 3х+2у-7z+32=0.

3.4.14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-2;3;6) перпендикулярно плоскостям 2х+3у-2z-4=0, 3х+5у+z=0.

Ответ: 13х-8у+z+44=0.

3.4.15. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁(1;-1;0), М₂(2;1;-3), М₃(-1;0;1) .

Ответ: х+у+z=0.

3.4.16. Найти угол между плоскостями х+2у-3z+4=0, 2х+3у+z+8=0.

Ответ: .

3.4.17. Найти расстояние от точки М₀(1;3;-2) до плоскости 2х-3у-4z+12=0.

Ответ: .