ГЛ 9

ГЛАВА 9. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Многие математические модели физики, химии, биологии и экономики сводятся к решению краевых (с начальными условиями для функции и ее производных) задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Чаще всего подобные задачи не поддаются полному аналитическому исследованию и для их решения используются приближённые численные методы. В настоящее время существуют надежные численные методы, позволяющие решать обыкновенные дифференциальные уравнения. Именно они обеспечили построение и исследование сложных математических и компьютерных моделей. В этой главе рассматриваются некоторые из численных методов.

9.1. Численные методы решения задачи Коши для уравнения первого порядка

Понятия точного и приближённого решения задачи Коши. Погрешность приближённого решения

Среди краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений наиболее известной и изученной является задача с начальными условиями, называемая задачей Коши.

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на отрезке [a ;b]:

диффе-ренцируемую на отрезке [a ;b]), и в дальнейшем будем называть его точным решением задачи Коши.

Введём равномерную сетку точек {xn} (n =0 ,1, , N ) на отрезке

сеточную функцию. Это характерная особенность всех разностных методов. Значения приближённого решения задачи Коши в узлах сетки xn (n = 0,1, , N ) обозначим un (n = 0,1, , N ) . Сравнить значения точного и приближённого решения можно только в узлах

un , удовлетворяющее неравенству u( xn ) − un ≤ un .

Задача вычисления приближённого решения задачи Коши с заданной точностью обычно ставится следующим образом. Для заданного положительного числа ε требуется подобрать сетку и найти приближённое сеточное решение задачи Коши {un} , абсолютная погрешность которого во всех узлах сетки не превышает ε :

При этом левая часть последнего неравенства называется

погрешностью приближенного решения на сетке.

Для решения задачи разработано много методов. Рассмотрим один из таких методов, получивший название метода Эйлера.

Метод Эйлера

Приближённое решение задачи Коши с помощью формул численного дифференцирования. Дифференциальное уравнение (9.1.1) должно выполняться во всех точках отрезка [a , b], в том числе и во всех узлах сетки:

u′( xn ) = f ( xn ,u( xn ))

Используем формулу численного дифференцирования (7.1.17) для приближенного вычисления производной

u′( xn ) ≈ u( xn+1 )h− u( xn ) .

Подставим это приближённое равенство в дифференциальное уравнение. В результате получится система приближённых алгебраических равенств

u( xn+1 )h− u( xn ) ≈ f ( xn ,u( xn )) ,

Выразим из этих равенств u( xn+1 ) и получим систему приближённых формул

приближённо определяем u( x1) ≈ u( x0 ) + h f ( x0 ,u( x0 )) . Зная приближённое значение u( x1 ) , по формуле (9.1.4) при n=1 приближённо определяем u( x2 ) ≈ u( x1) + h f ( x1 ,u( x1)) и так далее. Последним по формуле (9.1.4) при

n=N-1 приближённо определяем u( xN ) ≈ u( xN −1) + h f ( xN −1 ,u( xN −1)) .

Итак, мы получили способ определения приближённого решения, который и получил название метода Эйлера. Обозначим приближённые значения u( xn ) , полученные описанным образом, через un . Запишем формулы, по которым получается приближённое

Отметим, что в точке x0 = a приближённое решение совпадает с точным, а далее с ростом n, погрешность приближённого решения будет нарастать. Можно ожидать, что с уменьшением h (с ростом N) погрешность приближённого решения будет уменьшаться и при h → 0

(N → ∞ ) погрешность будет стремиться к нулю. А это, в свою очередь, означает, что метод Эйлера можно будет применять для решения поставленной задачи.

Приближённое решение задачи Коши с помощью формул численного интегрирования. Формулы метода Эйлера (9.1.6), (9.1.7) можно получить и другим способом. Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения на отрезке [xn ; x

(9.1.4). Дальнейшие рассуждения проводятся так же, как и при получении приближенного решения задачи Коши с помощью формул.

Оценку погрешности приближенного решения { un} ,

полученного методом Эйлера на сетке { xn} , будем проводить исходя из предположения, что задача Коши (9.1.1) имеет единственное решение – дифференцируемую (а потому и непрерывную и

получить вычислительные схемы с более высоким порядком точности.

При получении формул метода Эйлера вторым способом для

формула левых прямоугольников с единственным узлом в точке xn . Обобщенная формула левых прямоугольников имеет первый порядок

точности. Вычислительная схема метода Эйлера (9.1.6) - (9.1.7)

также имеет первый порядок точности. Естественно, если бы для вычисления интеграла использовалась квадратурная формула более высокого порядка точности, то получилась бы вычислительная схема приближённого решения задачи Коши также более высокого порядка точности.

Применим для вычисления интеграла формулу трапеций с двумя узлами в точках xn и xn+1:

xn+1

ò f ( x ,u( x)) dx ≈ h2 ( f ( xn ,u( xn )) + f ( xn+1 ,u( xn+1 ))) . (9.1.18)

xn

Обобщенная формула трапеций имеет второй порядок точности. Подставим приближенное значение интеграла (9.1.18) в

уравнение (9.1.8) и получим

u( xn+1 ) - u( xn ) » h2 × ( f ( xn ,u( xn )) + f ( xn+1 ,u( xn+1 ))) .

Заменим u( xn+1 ) в правой части этого равенства по формуле Эйлера на

получим новую рекуррентную вычислительную схему для приближённого решения задачи Коши. Введём некоторые обозначения:

un - значение приближённого решения задачи Коши, полученное с помощью схемы (9.1.19) - (9.1.20) в узле сетки xn ,

вычислительной схемы к некоторому стандартному виду,

K1 = f ( xn ,un ) , K2 = f ( xn+1 ,un + h K1) = f ( xn + h,un + h K1) .

Оценка погрешности приближённого решения, получаемого по вычислительной схеме (9.1.21) − (9.1.22), производится аналогично

тому, как это было сделано для метода Эйлера. Полученная вычислительная схема действительно имеет второй порядок точности, если задача Коши имеет единственное решение, а функция f (x , u) и её частные производные до второго порядка включительно являются непрерывными и ограниченными. Таким образом, наше предположение оправдалось.

Подобным образом получены вычислительные схемы вида

Здесь l – заданное целое число, α2 ,α3 αl , p1, p2 pl и βi j − некоторые

вещественные постоянные, значения которых подбираются так, чтобы полученная вычислительная схема (9.1.23), (9.1.24) имела наибольший порядок точности.

Таким путём получены схемы с высокими порядками точности. На практике же чаще всего используются несколько хорошо апробированных вычислительных схем. Приведём одну из них:

Эта схема имеет четвёртый порядок точности (u( xm ) − um = O(h4 ) при h → 0 ), если задача Коши имеет единственное решение, а функция f (x , u) и её частные производные до четвёртого порядка включительно являются непрерывными и ограниченными.

Впервые метод построения вычислительных схем приближённого решения задачи Коши высоких порядков точности был предложен Рунге и усовершенствован Куттом. Поэтому он получил название метода Рунге-Кутта. В последнее время в русскоязычной литературе этот метод все чаще называют методом

Рунге-Кутты. Вычислительные схемы вида (9.1.23) − (9.1.24) также называются схемами Рунге-Кутта (или Рунге-Кутты). Интересно отметить, что вычислительная схема метода Эйлера также относится к семейству схем Рунге-Кутта (при l=1, p1 =1).

Мы не привели оценки погрешности вычислительных схем Рунге-Кутта (9.1.21) – (9.1.22) и (9.1.25) – (9.1.26). Дело в том, что эти оценки содержат величины, найти которые, зачастую, очень сложно. Поэтому они практически не используются.

Оценка погрешности по правилу Рунге. Метод повторного счёта

Обычно для получения приближённых решений дифференциальных уравнений с заданной точностью используется правило Рунге (см. параграф 6.3).