ГЛ 9
.pdf
Глава 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных |
108 |
уравнений |
|
Теорема 1. Если краевая задача (9.3.9), (9.3.10) имеет
единственное решение u(x) , функции f (x) |
и p(x) дважды непрерывно |
|||||||||||
дифференцируемы |
на отрезке |
[a;b], p( x) |
³ q > 0 |
|
|
на отрезке [a;b], то |
||||||
найдется постоянная C > 0 такая, что |
max |
|
u( x |
n |
) −u |
n |
|
≤ C h2 |
. |
|||
|
|
|||||||||||
0≤n≤N |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В условиях теоремы точное |
|||||||||||
решение краевой |
задачи |
u(x) |
должно |
иметь |
непрерывные |
|||||||
производные третьего и четвертого порядка. В самом деле, функция u(x) должна иметь на отрезке (a;b) производную второго порядка (и первого, естественно, тоже), поскольку она удовлетворяет дифференциальному уравнению (9.3.9), причем эти производные должны быть непрерывны на отрезке [a;b]. Продифференцируем два раза равенство (9.3.9) и выразим из получившихся равенств u(3) ( x) и
u(4) ( x) :
u(3) = ( p( x) u)′ + f ′( x), u(4) = ( p( x) u)² + f ′′( x) .
В правых частях этих равенств стоят функции определенные и непрерывные на отрезке [a;b]. Следовательно, и также определены и непрерывны на [a;b]. Отсюда, в свою очередь, следует
ограниченность u(4) ( x) |
на отрезке [a;b], то есть должна существовать |
||||
постоянная M 4 такая, что |
|
||||
|
u (4) (x) |
|
≤M 4 |
на отрезке [a;b]. |
(9.3.24) |
|
|
||||
Оценивая погрешность примененной нами формулы численного дифференцирования в примере 3 параграфа 6.2, мы получили формулу
|
|
|
|
y′′(x1) − |
y(x2 ) − 2 y( x1) + y(x0 ) |
= − |
1 |
(y(4) (ξ2 ) + y(4) |
(ξ1))h2 , |
|
|
|
|
||
где 1 и |
h2 |
24 |
и |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
2 |
|
||||||
2 − некоторые точки, лежащие на отрезках |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[x |
|
; x ] |
|
[x ; x |
|
] |
ξ |
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
соответственно. Применяя эту формулу для функции u(x) и узлов xn−1, xn , xn+1 , получаем
u′′(xn ) − |
u(xn−1) − 2 u( xn ) + u(xn+1) |
= − |
1 |
(u(4) (ξ2 n ) + u(4) (ξ1n ))h2 , |
|
h2 |
24 |
||||
|
|
|
где ξn и ξ n − некоторые точки, лежащие на отрезках [xn−1; xn ] и
1 2
[xn ; xn+1], соответственно. Выражаем отсюда u′′(xn ), подставляем в формулу (9.3.11) и получаем
u(xn−1) − 2u( xn ) + u(xn+1) |
− p( xn ) u( xn ) = |
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
h2 |
|
|
|
. |
|
= f ( x |
n |
) + |
1 |
(u(4) (ξ |
2 n |
) + u(4) (ξ |
))h2 |
|
|
||||||||
|
|
24 |
|
|
1n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных |
109 |
уравнений |
|
Умножим это равенство на h2 :
|
|
|
u(xn−1) − (2 + h2 p( xn ))u( xn ) + u(xn+1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= h2 |
f ( x |
n |
) + |
|
|
h4 |
(u(4) (ξ |
2 n |
) + u(4) (ξ |
|
|
)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим zn = u( xn ) |
− un , вычтем из последнего равенства равенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(9.3.17) и с учетом введенного обозначения получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
zn 1 - (2 + h2 p( xn )) zn + zn 1 = |
|
h4 |
(u(4) (ξ2 n ) + u(4) (ξ1n )), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n =1, 2, , N −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.3.25) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Из краевых условий (9.3.10) и (9.3.15) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z0 = 0, zN = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.3.26) |
|||||||||||||||||||||||||||
Из (9.3.25) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2 + h |
2 p( xn ))× |
|
zn |
|
£ |
|
zn |
|
1 |
|
+ |
|
zn 1 |
|
|
+ |
( |
|
u(4) (ξ2 n ) |
|
+ |
|
|
|
u(4) (ξ1n ) |
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь учтено, что p( xn ) > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(xn )−un |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Обозначим |
через М = max |
|
|
|
|
= max |
|
|
, а n0 − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0≤n≤N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0≤n≤N |
|
0 |
|
|
0≤n≤N |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
номер узла, в котором этот максимум достигается: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
= M = max |
zn |
|
|||||||
Тогда из последнего неравенства при n = n0 |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 + h2 |
p(x |
|
)) M ≤ |
|
z |
|
|
|
|
|
+ |
|
z |
|
|
|
|
+ |
h4 |
|
( |
|
u(4) |
|
|
|
) |
|
+ |
|
u(4) (ξ |
|
) |
|
) |
≤ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ξ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ 2 M + h4 |
|
|
|
|
2 M 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Выразим отсюда М: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
M4 h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
max |
|
z |
|
|
|
|
|
= M ≤ |
|
|
M4 |
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0≤n≤ N |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 p(xn0 ) |
|
|
|
12 q |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что наша разностная схема будет иметь, по крайней мере, второй порядок точности и для получения приближенного сеточного решения краевой задачи { un} с заданной точностью ε можно применять правило Рунге и метод повторного счета.
Контрольные вопросы и задания
1. Как ставится задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка? Что такое точное и
Глава 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных |
110 |
уравнений |
|
приближенное сеточное решения задачи Коши? Что понимается под погрешностью приближенного решения?
2.Получите вычислительную схему Эйлера путём замены производной разностным отношением с помощью формулы численного дифференцирования.
3.Получите вычислительную схему Эйлера путём применения формул численного интегрирования.
4.Найдите оценку погрешности приближенного решения задачи Коши, полученного по схеме Эйлера.
5.Получите схему Рунге-Кутта второго порядка. Запишите общую схему метода Рунге-Кутта и схему четвертого порядка. Как применяется метод повторного счета?
6.Что такое многошаговые методы? Как строятся вычислительные схемы для них?
7.Как получаются формулы Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона? В чем смысл методов прогноза и коррекции? Получите предиктор-корректорные вычислительные формулы Адамса.
8.Как ставится задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков и систем?
9.Что представляет собой приближенное сеточное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и его погрешность? Запишите схемы Эйлера и Рунге-Кутта для систем дифференциальных уравнений. Как оценивается погрешность приближенного решения?
10.Опишите баллистический метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
11.Опишите разностный метод решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.