ГЛ 9

Схемы Эйлера и Рунге-Кутта для систем уравнений

Будем считать, что задача Коши (9.2.7) - (9.2.8) имеет

единственное решение u(x) на отрезке [a ;b] и в дальнейшем будем называть его точным решением этой задачи. Введём на отрезке

[a ;b] сетку {xn = a + h × n : h = (b - a)N , n = 0,1, , N} и найдем на этой сетке приближённое решение задачи Коши {un} . Приближённое решение

представляет собой множество векторов

Абсолютная погрешность p-го компонента приближённого решения в

неравенству u p (xn ) −unp ≤ un p . Оценкой погрешности приближённого

Задача вычисления приближённого решения задачи Коши (9.2.7) - (9.2.8) с заданной точностью обычно ставится следующим образом.

Для заданного положительного числа ε требуется подобрать сетку { xn} и найти приближённое сеточное решение задачи Коши { un} , абсолютная погрешность которого во всех узлах сетки не превышает

строятся вычислительные схемы, аналогичные тем, которые были рассмотрены, только скалярные величины заменяются векторными.

Например, схема Эйлера для приближённого решения задачи (9.2.7) -

В координатах схема Эйлера для систем будет выглядеть более громоздко:

ìu01 = u1 ,

ïïu02 = u2 ,

í

ï..............

ïîu0m = um ,

Оценки погрешности вычислительных схем для векторного случая производятся так же, как и для скалярного. Можно доказать,

что вычислительная схема Эйлера (9.2.9) − (9.2.10) имеет первый

порядок точности, если функция f и ее частные производные непрерывны и ограничены. А вычислительная схема Рунге-Кутта

(9.2.11) − (9.2.12) имеет четвёртый порядок точности, если функция f

и ее частные производные до четвертого порядка непрерывны и ограничены.

Для получения приближённого решения задачи (9.2.7) − (9.2.8) с

заданной точностью ε можно использовать правило Рунге. Строится последовательность сгущающихся (в 2 раза) сеток и для каждой пары сеток сравниваются приближённые решения на них {un p } и {u2n p } в

Процесс построения приближённых решений продолжается до тех пор, пока во всех совпадающих узлах xn = x2n двух последних сеток не будет выполнено условие

Тогда последнее полученное приближённое решение {un p } будет иметь заданную точность ε в совпадающих узлах двух последних сеток. Поскольку погрешность приближённого решения обычно принимает максимальное значение на правом конце отрезка [a ;b], условие (9.2.14) обычно проверяется только при n = N .

9.3. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Помимо задач Коши, встречаются и другие виды краевых задач, дополнительные (краевые) условия для которых формулируются в нескольких точках. Для их решения существует несколько методов. Два из них в этом параграфе.

Баллистический метод

Баллистический метод применяется для решения краевых задач с краевыми условиями, поставленными на концах промежутка, на котором ищется решения задачи. Основная идея метода состоит в том, чтобы свести решение краевой задачи к задаче Коши, для решения которой существуют надежные вычислительные схемы (например, схемы Рунге-Кутта). Баллистический метод называют также методом стрельбы и методом пристрелки. Названия метода возникли из-за глубокой аналогии, имеющейся между ним и действиями артиллеристов. Существует несколько разновидностей баллистического метода. Мы будем рассматривать его на примере решения краевой задачи для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

Решением (точным решением) этой краевой задачи называется пара непрерывных и дифференцируемых на отрезке (a;b) функций { u1( x),u2 ( x)} , удовлетворяющих уравнениям (9.3.1), (9.3.2) и краевым условиям (9.3.3), (9.3.4). Будем предполагать, что точное решение краевой задачи существует и единственно. Требуется найти

приближенное решение этой задачи с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа ε .

Если функции u1( x) и u2 ( x) удовлетворяют условиям (9.3.5) и (9.3.6), то при любом значении η они будут удовлетворять и краевому условию (9.3.3).

Зафиксируем какое-либо значение параметра η и решим любым способом задачу Коши для системы дифференциальных уравнений (9.3.1), (9.3.2) с начальными условиями (9.3.5), (9.3.6). Обозначим точное решение задачи Коши (9.3.1), (9.3.2), (9.3.5), (9.3.6) как { u1( x;η),u2 ( x;η)} (оно, очевидно, зависит от значения параметра η). При любом значении η функции u1( x;η) и u2 ( x;η) будут удовлетворять дифференциальным уравнениям (9.3.1), (9.3.2) и краевому условию (9.3.3). Для получения решения краевой задачи осталось подобрать (пристрелять) значение параметра η, при котором функции u1( x;η) и u2 ( x;η) будут удовлетворять также и условию (9.3.4). Для этого мы подставляем u1( x;η) и u2 ( x;η) в краевое условие (9.3.4). В результате этого получается уравнение с одним неизвестным η

Если ηе − точное решение уравнения (9.3.7), то { u1( x;ηe ),u2( x;ηe )} −

точное решение краевой задачи (9.3.1), (9.3.2), (9.3.3), (9.3.4).

Чаще всего получить точное решение задачи Коши (9.3.1), (9.3.2), (9.3.5), (9.3.6) и уравнения (9.3.7) не удается. В этом случае для решения этих задач используются численные методы (например,

Решая его каким-либо численным методом, получаем приближенное решение уравнения (9.3.8) − ηa . А в качестве приближенного