Глава IV. Математический анализ

§4.1. Основные элементарные функции, некоторые свойства и графики

Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению х ставится в соответствие одно определенное значение у.

Х – множество значений переменной х, которое называется областью определения функции и обозначается D(f).

Y – множество значений переменной величины у, обозначаемое как E(f).

Основными элементарными функциями являются следующие аналитически заданные функции:

1. Степенная функция у=х^, R.

2. Показательная функция у=а^х, а>0, а≠1.

3. Логарифмическая функция y=log_ax, a>0, а≠1.

4. Тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

5. Обратные тригонометрические функции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Элементарная функция может быть сложной, то есть являться функцией от некоторой функции, например y=f(u), u=(х), тогда y=f((x)).

Различают четные и нечетные функции, периодические и непериодические, функции общего вида.

________________

4.1.1. Задана функция .

Найти .

Ответ: .

4.1.2. Найти область определения функций D(f):

а) ;  б); в)f(x)=log₃(9-x²);

г) ; д); е).

Ответ: (-;-1)(-1;+); (-;-2)(-2;2)(2;+); (-3;3); (-;-2)(2;+); (-;2][5;+); [-6;2].

4.1.3. Найти множество значений функции E(f):

а) f(x)=x²+4x+3;  б) f(x)=2^|x|; в) f(x)=3-5cosx; г) f(x)=|x|-3;

д) f(x)=log₂(128-1242^-|x|.

Ответ: [2;7)

4.1.4. Определить четные, нечетные функции и функции общего вида:

а) ; б)f(x)=x⁴-5|x|; в) f(x)=e^x-2e^-x; г) ;

д) ; е); ж)f(x)=arcsinx; з) f(x)=xe^x; и) .

Ответ: а) нечет.; б) чет.; в) общ. вида; г) нечет.; д) чет.; е) общ. вида; ж) нечет.; з) общ. вида; и) нечет.

4.1.5. Определяется ли заданная функция периодической; найти ее наименьший положительный период, если он существует:

а) f(x)=sin4x; б) f(x)=cos²5x; в) f(x)=tg; г) f(x)=sin3xcos3x; д) .

4.1.6. Найти значение функции f(19), если известно, что функция f(x) нечетная, имеет период, равный 10, и на отрезке [0;5] имеет вид у=25х²-х⁴.

Ответ: -24.

4.1.7. Построить графики функций:

а) у=х²-6х+11; б) у=1; в)у=2^х-1+3; г) у=log₂|x|; д) y=3cos2x.

______________

4.1.8. Задана функция .

Найти .

Ответ: .

4.1.9. Найти область определения функций D(f):

а) ; б); в)f(x)=log₂(x²-4x+3);

г) ; д); е)f(x)=tg2x.

Ответ: (-;1)(1;+); (-;+); (-;1)(3;+); [-2;1); [-1;3];(-;+).

4.1.10. Найти множество значений функций E(f):

а) f(x)=x²-6x+8; б) f(x)=2^-|x|; в) f(x)=4+2sin5x; г) ;

д) .

Ответ: д) [0;1].

4.1.11. Установить, какие из следующих функций четные, нечетные, общего вида:

а) f(x)=x²+5x⁴; б) f(x)=xcosx; в) f(x)=tgx²; г) f(x)=|x-2|.

Ответ: а) чет.; б) нечет.; в) чет.; г) общего вида.

4.1.12. Найти значение функции f(22), если известно, что y=f(x) – нечетная функция с периодом 12 и на отрезке [0;6] функция имеет вид у=36х⁴-х².

Ответ: -572.

4.1.13. Построить графики следующих функций:

а) y=x²-4x-5; б) y=log₂(x-1)+3; в) .

§4.2. Предел функции. Замечательные пределы. Непрерывность функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой  - окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а.

Число b называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует число >0, такое, что |f(x)-b|< при 0<|x-a|<.

Предел записывается как =b.

Можно сформулировать следующие свойства пределов:

1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине, то есть , где с –const.

2. Пусть u(x) и v(x) являются функциями аргумента х и их пределы существуют. Тогда .

3. .

4.