§4.7. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты

Кривая называется выпуклой в точке х=х₀, если в некоторой окрестности этой точки кивая расположена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция называется вогнутой (рис.6б).

В качестве достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функций можно принять следующие: если y">0, то кривая вогнутая, если y"<0, то кривая выпуклая.

Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной от функции, достаточным – изменение знака второй производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.

Пусть имеется кривая, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой графика кривой.

Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.

Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции или граничная точка области определения.

Если , то прямаях=а есть вертикальная асимптота.

Если , то прямаях=b – горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где ;.

Замечание. Пределы при х∞, х-∞ находятся отдельно.

Алгоритм полного исследования функции y=f(x)

1. Найти область определения функции; точки разрыва.

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.

4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

5. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат.

7. При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.

___________________

4.7.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) у=х⁵-5х-6; б) у=(х-5)^5/3+2;

в) у=хе^х; г) у=х⁴-8х³+24х².

Ответ: а) (-∞;0) – выпуклая; (0;∞) – вогнутая;

б) р(5;2) – точка перегиба;

в) (-∞;-2) – выпуклая; (-2;∞) – вогнутая;

г) точек перегиба нет.

4.7.2. Найти асимптоты графика функций:

а) ; б);

в) ; г)y=-xarctgx.

Ответ: а) х=-2, у=3; б) х=1, х= -6, у=0; в) у=х-6;

г)

4.7.3. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б);

в) ; г).

Ответ: а) у_min(2)=3; асимптоты у=х, х=0;

б) у_min(23)=33, у_max(-23)= -33; (0;0) – точка перегиба; х=2, у=х – асимптоты;

в) у_max(е²)=2/е, у=0 – асимптоты;

г) у_max(1)=е.

4.7.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) ; б);

в) y=ln|x|; г) .

Ответ: а) (2;-8/3); б) ; в) точек перегиба нет;

г) .

4.7.8. Найти асимптоты графиков функций:

а) ; б)y=x-arctgx;

в) .

Ответ: а) х=0; у=1; б) ; в)у=2х; х=0.

4.7.9. Исследовать функции и построить графики:

а) ; б).

Ответ: а) у=-х – наклонная асимптота; б) у_min(6)=13,5; (0;0) – точка перегиба; х=2; у=х+4 – асимптоты.