- •Высшая математика
- •Содержание
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§1.1. Матрицы и определители
- •§1.2. Системы m линейных алгебраических уравнений с m неизвестными
- •1.3. Операции над матрицами
- •1.4. Обратная матрица. Матричные уравнения и системы линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- •1.5. Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Глава 2. Векторная алгебра
- •§2.1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§2.2. Скалярное произведение
- •Свойства скалярного произведения
- •§2.3. Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •§2.4. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава III. Аналитическая геометрия
- •§ 3.1. Прямая линия на плоскости
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •§ 3.2. Кривые второго порядка на плоскости
- •§ 3.3. Общее уравнение кривых второго порядка Преобразование уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •§ 3.4. Плоскость в пространстве
- •§ 3.5. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Глава IV. Математический анализ
- •§4.1. Основные элементарные функции, некоторые свойства и графики
- •§4.2. Предел функции. Замечательные пределы. Непрерывность функции
- •Замечательные пределы
- •Непрерывность функции
- •Разрывы функции
- •§4.3. Дифференцирование функций. Основные формулы дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •§4.4. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
- •§4.5. Производные высших порядков. Правила Лопиталя
- •Правила Лопиталя
- •§4.6. Монотонность функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§4.7. Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
- •§4.8. Параметрически заданные функции. Векторная функция скалярного аргумента. Кривизна плоской кривой
- •Список рекомендуемой литературы
§4.3. Дифференцирование функций. Основные формулы дифференцирования
1) с′=0, где с – const; 2) (хn)′ = nxn-1;
3) (ax)′=axlna; 4) (ex)′=ex ;
5) (lgax)′=; 6) (lnx)′=;
7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx;
9) (tgx)′=; 10) (ctgx)′=;
11) (arcsinx)′=; 12) (arccosx)′=;
13) (arctgx)′=; 14) (arcctgx)′=.
Основные правила дифференцирования
Пусть u=u(x), v=v(x). Тогда
1) (u(x)v(x))′=u′(x) v′(x);
2) (u(x) v(x))′=u′(x)v(x)+u(x) v′(x);
3) ;
4) (cf(x))′=cf′(x).
Правило дифференцирования сложной функции y=f(u), если u=u(x), состоит (f(u(x)))′=f′(u)u′(x).
4.3.1. Найти производные следующих функций:
1) f(x)=3x2-5x+1; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) y=x2sinx; 12) ;
13) ; 14) ;
15) y=xarcsinx ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) y=xlnx ; 20) ;
21) ; 22) y=(sinx)log5x ;
23) y=2x+10x ; 24) ;
25) y=excosx ; 26) ;
27) y=(x2-10x+5)10 ; 28) ;
29) ; 30) ;
31) y=sin2x+cos5x ; 32) y=tgx2+ctgx3 ;
33) y=sin2x-3cos3x ; 34) y=tg35x ;
35) y=3sin2(2x+5) ; 36) ;
37) ; 38) y=ln(1-2x) ;
39) ; 40) ;
41) ; 42) y=(sinx)cosx ;
43) y=(x+5)2/x ; 44) y=(x2+1)sinx ;
4.3.2. Найти производные у′х неявных функций:
1) х2-5ху+8у3=5; 2) ;
3) l2x+l3y-5xy=0; 4) lxsiny+lycosx= ;
5) y-x=arctgy ; 6) .
______________________
4.3.3. Найти производные следующих функций:
1) y=x4-4x3+0,5x2-2x+3; 2) ;
3) ; 4) y=(x2+5x)sinx;
5) ; 6) y=(2x+5)7 ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) y=ln(5-2x2);
11) y=lncos5x ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) y=sin23x+sin9x2 ;
17) ; 18) .
4.3.4. Найти производные у′х неявных функций:
1) у2+х2=lnxy; 2) xsiny+ysinx=0.
§4.4. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
Пусть дана функцияy=f(x). К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М0(х0;у0). Угловой коэффициент касательной в точке М0 равен значению производной функции f(x) в точке х0, то есть k=tg=f′(x0).
Уравнение касательной, проходящей
через точку М0(х0;у0), имеет вид:
у-у0= f′(x0)(х-х0).
Прямая, перпендикулярная к
касательной и проходящая через
точку М0, называется нормалью.
Уравнение нормали в точке М0(х0;у0):
у-у0= (х-х0).
_________________
4.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:
а) у=х2-4х+3, х0=-1; б) у=х2е-х, х0=1;
в) у=-х2+6х-5
в точках пересечения с осью ОY.
Ответ: а) у=-6х+2; б) ;в) у=6х-5;
; у=-е+е+; -5.
4.4.2. В каких точках касательные к кривой параллельны прямойу=2х-1?
Ответ: (3;-2); (-1; 2/3).
4.4.3. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точкех0=-1.
Ответ: 4,5.
4.4.4. Через точку М(1;1) походят две касательные к графику функции f(x)=2x2+4x+3. Найти сумму абсцисс точек касания.
Ответ: 2.
4.4.5. Написать уравнения касательных к окружности х2+у2+4х-4у+3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.
Ответ: 2у=-х-3; 2у=х+1.
4.4.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х2-у2=9, проведенной из точки М(5;4) с асимптотами.
Ответ: ; (40;40).
_____________
4.4.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:
а) у=х3, х0= -2; б) у=2х-х2 в точках пересечения кривой с осью ОХ;
в) у=2х2-5, у=х2-3х+5 в точках пересечения этих кривых.
Ответ: а) у=12х+24; б) у=2х; у=-2х+4;
; ;;
в) у=8х-16; у=; у=-20х-100; у=; у=х-2; у= -х+2; у= -13х-65; у=.
4.4.8. В каких точках касательные к кривой перпендикулярны к прямойу=2х-5?
Ответ: (0;-1); (-2;3).
4.4.9. Написать уравнения касательных к астроиде х2/3+у2/3=а2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.
Ответ: .