Глава 2. Векторная алгебра

§2.1 Векторы. Линейные операции над векторами

Геометрический вектор - это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называетсяначалом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка [АВ]. Векторы обозначают как , а их длины.

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым .

Произведением вектора на некоторое число αR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженный на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора, если α>0, и противоположно ему, если α<0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось ОХ называется число, равное длине вектора, умноженной на косинус угла между вектороми положительным направлением оси ОХ.

Если векторы изаданы своими координатами, т.е, то векторkбудет иметь координатыk₁, k₂,…,k_n, где k – действительное число; векторы +будут иметь координаты,,…,.

Пусть имеется трехмерная прямоугольная система координат, в которой задана точка М(x,y,z).

Радиусом – вектором точки М называется вектор , соединяющий начало координат с этой точкой.

Длина радиуса – вектора определяется как ;

Единичные векторы координат осей называются ортами. Радиус – вектор через орты выражается как=. Если векторзадан координатами точек начала А(x₁,y₁,z₁) и конца В(x₂,y₂,z₂), то ;

.

Углы α,β,γ между вектором и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом, причемcos²α+cos²β+cos²γ=1.

______________

2.1.1. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы . М – середина стороны ВС,N – середина АС. ОА =3, ОВ=4. Выразить через векторы.

Ответ:

2.1.2. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества

а) ; б).

Ответ:

2.1.3. В треугольной пирамиде SABC, где S – вершина, даны векторы . Найти вектор, где М – центр тяжести основания АВС.

Ответ: .

2.1.4. Даны векторы . Вектор- медиана ΔОАВ. Разложить аналитически и геометрически векторпо векторам.

Ответ:

2.1.5. В параллелограмм АВСД заданы вершина С(6;-8;5) и векторы АС={-3;1;4}, ВД={2;-3;5} – его диагонали. Определить координаты точки В.

Ответ: В(6,5;-7;0,5).

2.1.6. Построить вектор =. Определить его длину и направление.

Ответ: ||=7.

2.1.7. В прямоугольной системе координат даны векторы и. Найти длину и направление вектора.

Ответ: .

2.1.8. Построить параллелограмм на векторах =и=. Определить его диагонали.

Ответ: =;=.

____________

2.1.9. На плоскости даны точки А(3;3); В(-3;3); С(-3;0); О(0;0). Построить вектор =. Выразить векторычерез единичные векторыкоординатных осей. Найти длину и направление вектора.

Ответ:

2.1.10. Определить координаты центра тяжести треугольника АВС, если А(5;1;12); В(11;3;8); С(2;5;0).

2.1.11. Построить точку М(5;-3;4). Определить длину и направление ее радиус – вектора.

Ответ: .

2.1.12. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы, если.

2.1.13. Даны векторы ={3;-2;1},={-2;4;-3}. Найти длину и направление вектора.

Ответ: .

2.1.14. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3); В(3;2;1); С(6;4;4). Найти координаты его четвертой вершины.

Ответ: Д(4;0;6).