§2.2. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается скалярное произведение какили.

Итак, по определению, =.

Свойства скалярного произведения

1. =.

2. .

3. .

4. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть .

Скалярное произведение ортов:

.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе как,то.

Применение скалярного произведения

1. Длина вектора равна.

2. Угол между векторами определяется как.

3. Проекция вектора :.

4. Условие ортогональности двух векторов =0,.

5. Работа силы по перемещению материальной точки из А в В равна.

______________

2.2.1. Найти скалярное произведение векторови.

Ответ: 4.

2.2.2. Найти угол между векторами и.

Ответ: 90.

2.2.3. Найти алгебраическую проекцию вектора на вектор.

Ответ: 3.

2.2.4. Даны векторы . Вектор. Найти:;;;;.

Ответ: 5; 4; .

2.2.5. Даны векторы: . При каких значенияхn угол между векторами тупой, прямой, острый?

Ответ: n<; n=; n>.

2.2.6. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).

Ответ: А=6.

2.2.7. На материальную точку действуют силы ₁=,₂=,₃=. Найти работы равнодействующей этих сил и силы₂ при перемещении точки из А(2;-1;0) в В(4;1;-1).

Ответ:1; -6.

2.2.8. Определить длину вектора , если.

Ответ: 63

2.2.9. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и, где.

Ответ: 7; 13.

2.2.10. Векторы взаимно перпендикулярны, а векторобразует с ними углы, равные π/3. Зная, что, найти.

Ответ: -7.

_____________

2.2.11. Даны векторы и. Найти,,.

Ответ: 13; .

2.2.12. Даны векторы =,=,=. Найти модуль скалярного произведения диагоналей четырехугольника АВСД.

Ответ:

2.2.13. Даны векторы Вектор. Найти:,.

Ответ:

2.2.14. Даны силы ₁=,₂=. Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку А(2;-1;-1).

Ответ: 2.

2.2.15. Найти угол между векторами и, гдеи- единичные векторы с углом между ними 120.

Ответ: -1/2.

§2.3. Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, векторперпендикулярен векторами направлен таким образом, что при взгляде в конец векторакратчайший поворот отвидится против часовой стрелки. В этом случае говорят, что векторыобразуют правую тройку. В противном случае тройка векторов левая.

Обозначается векторное произведение как или.

Модуль вектора .

Свойства векторного произведения

1. = -.

2. .

3. .

Векторное произведение ортов

.

Для перемножения ортов между собой можно воспользоваться следующей схемой (рис.1). Векторное произведение двух последовательно стоящих ортов равно           следующему за ними орту, при этом если

движение осуществляется слева направо,

то знак векторного произведения положи-

тельный, в противном случае – отрицательный,

т.е. ,и тд.

Если заданы два вектора своими координатами в ортонормированном базисе как, то.

Применение векторного произведения

1. Площадь треугольника, построенного на векторах , равна.

2. Условие коллинеарности двух векторов =.

3. Момент силы , приложенный в точке А, равен.

________________

2.3.1. Построить векторы , если 1);

2) и.

Ответ: ; 0.

2.3.2. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1) ;

2) .

Ответ: 1) ; 2).

2.3.3. Даны векторы =,=. Найти.

Ответ: .

2.3.4. Даны векторы Найти.

Ответ: .

2.3.5. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;2;0); В(3;0;-3); С(5;2;6).

Ответ:14.

2.3.6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы, угол между которыми равен π/3.

Ответ: .

2.3.7. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы - единичные векторы, образующие угол 45.

Ответ: .

2.3.8. Сила =приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее момент относительно начала координат.

Ответ: .

2.3.9. Построить векторы , если 1); 2).

Ответ: .

2.3.10. Раскрыть скобки и упростить выражения:

1) ;

2) .

Ответ: 1) ; 2) 3.

2.3.11. Даны векторы . Найти векторное произведение.

Ответ: .

2.3.12. Дан треугольник с вершинами А(2;-1;2); В(1;2;-1); С(3;2;1). Найти его площадь.

Ответ: .

2.3.13. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы с углом между ними 30.

Ответ: 1,5.