- •Программа курса
- •Введение Цели и задачи теории автоматического управления
- •Классификация систем автоматического управления
- •Терминология. Основные понятия
- •Математическое описание сау и ее элементов
- •Линеаризация статических характеристик
- •Динамические характеристики звена
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Передаточная функция звена
- •Связь оператора s с физикой
- •Частотные характеристики звеньев
- •Логарифмические частотные характеристики лах и лфх
- •Регулярные сигналы
- •Переходная характеристика звена
- •Весовая функция
- •Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
- •Типовые звенья. Характеристики звеньев
- •Идеальное усилительное звено
- •Реальное усилительное звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Интегрирующее звено
- •Форсирующеезвено
- •Квазиинерционное звено
- •Звенья второго порядка. Передаточные функции
- •Частотные характеристики звеньев второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
- •Преобразования структурных схем Правила переноса
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное соединение звеньев
- •Встречно –параллельное соединение звеньев
- •Замкнутые системы автоматического управления. Виды обратной связи
- •Передаточные функции в системах автоматического управления
- •Передаточная функция разомкнутой системы
- •Устойчивость систем автоматического управления
- •Понятие устойчивости системы
- •Критерии устойчивости
- •Алгебраический критерий устойчивости Раусса. 1875г.
- •Критерий устойчивости Гурвица. 1895 г.
- •О критическом коэффициенте усиления
- •Частотные критерии устойчивости
- •Принцип аргумента
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •Обобщенная формулировка критерия Найквиста
- •Логарифмический критерий устойчивости (Найквиста)
- •О применении критериев устойчивости
- •Свойства систем автоматического управления
- •Структурная устойчивость (неустойчивость)
- •Запас устойчивости
- •Область устойчивости
- •Метод д-разбиения
- •Оценка качества регулирования
- •Показатели качества переходной характеристики
- •Точность в установившихся режимах
- •Интегральные оценки качества
- •Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции
- •Влияние расположения нулей и полюсов на переходную характеристику
Свойства преобразования Лапласа
Линейность ℒ;.
2. Теорема смещения: ℒ.
Дифференцирование ℒ,
ℒ.
Интегрирование ℒ; ;
Теорема умножений (свертка) ℒ,
где ;.
Теорема подобия ℒ.
Теорема о начальном значении .
Теорема о предельном значении .
Примеры преобразования Лапласа для некоторых функций:
Оригинал Изображение
;
;
;
;
;
;
;
(ступенчатая функция);
(импульсный сигнал).
Передаточная функция звена
Передаточной функцией звена называется отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала звена.
Иногда для описания передаточных функций звена используется обозначение K(s).
Связь оператора s с физикой
В линейной системе переходный процесс, описываемый дифференциальным уравнением, может быть очень сложной функцией времени, но весь он состоит из линейной комбинации двух видов кривых – экспонент и синусоид.
При этом в устойчивой системе все экспоненты затухающие. Оператор Лапласа s- число комплексное:.
с– свидетельствует о величине экспоненты;
- характеризует частоту.
Частотные характеристики звеньев
Переход от передаточной функции звена осуществляется простой заменой .
То есть из рассматриваемого процесса как бы исключается экспонента. Физически частотные характеристики звена имеют очень простую интерпретацию.
Пусть - синосоидальное входное воздействие.
Тогда в установившемся режиме выходной сигнал также будет синусоидальным: .
Комплексный коэффициент усиления .
может быть получен экспериментально, либо путем подстановки в передаточную функцию звена вместо . .
- АЧХ – амплитудно-частотная характеристика звена;
- ФЧХ – фазо-частотная характеристика звена.
Таким образом - АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика.
- ВЧХ – вещественная частотная характеристика;
- МЧХ – мнимая частотная характеристика.
Можно по ВЧХ и МЧХ определить АЧХ и ФЧХ:
;
Логарифмические частотные характеристики лах и лфх
По оси ординат откладываются в логарифмическом масштабе значения . .
Из разделов физики известно, что (мощность) и .
- [Белл],
- [децибелл].
По оси абсцисс откладывается угловая частота (относительное значение). Если откладывается в логарифмическом масштабе по основанию 10 (как на рисунке), то единицей измерения являетсядекада. Если (в логарифмическом масштабе по основанию 2),то вместо декады будетоктава.
Логарифмические характеристики применяются из-за их удобства, так как при последовательном соединении звеньев характеристики этих звеньев, построенные в логарифмическом масштабе, складываются. Поэтому методы анализа и синтеза с помощью ЛАХ очень просты.
Если АЧХ чаще всего очень сложные функции от , то ЛАХ легко аппроксимируются отрезками прямых.
Регулярные сигналы
Сигналы на входе звена – произвольная временные функции. Чтобы иметь возможность изучать поведение звеньев при прочих равных условиях вводится 3 вида регулярных сигналов:
Единичное ступенчатое воздействие
Импульсный сигнал
Реально - импульс достаточно короткий с крутыми фронтами.
Гармоничный сигнал .
Каждый из трех названных сигналов позволяет изобразить сигнал произвольной формы.
Эти регулярные сигналы сами по себе являются удачными для исследования статических и динамических свойств звеньев и систем, так как в спектре и содержатся частоты от самых малых до очень больших значений, а гармонический сигнал сам может принимать любые значения частот.