Обобщенная формулировка критерия Найквиста

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 досделал число положительных переходов действительной оси левее точки () больше числа отрицательных переходов на раз.

Считаем слева направо -, +, -, +. Сумма переходов равна нулю. Переходы справа от точки (-1,j0) не считаем. Замкнутая система будет устойчива, еслиm₁=0 (в разомкнутой системе все корни левые).

4. Логарифмический критерий устойчивости (Найквиста)

Это разновидность частотного критерия Найквиста, позволяющего выяснить устойчивость системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии (или нейтральной), необходимо и достаточно, чтобы критическая частота, соответствующая переходу ЛФХ через линию (-180⁰) была больше, чем частота среза.

Общая формулировка логарифмического критерия:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов кривой линиив областиравнялась, где- число правых корней разомкнутой системы.

5. О применении критериев устойчивости

Если имеется дифференциальное уравнение системы в канонической форме или операторное уравнение вида , (), то в этом случае предпочтительно использовать алгебраические критерии. Если порядок уравнения , то лучше критерий Гурвица. Кроме того критерий Гурвица можно рекомендовать, когда необходимо решить задачу нахождения границы устойчивости. Для этого приравнивают к нулю минор и находят из данного уравнения граничные условия.

Если , то лучше применять критерий Раусса.

Частотные критерии предпочтительнее, когда имеются соответствующие частотные характеристики. Частотные характеристики применяются при исследовании систем, которые невозможно описать дифференциальными уравнениями (черный ящик).

4. Свойства систем автоматического управления

Рассмотренная выше устойчивость (совместно с критериями ее определения) не является единственным свойством систем автоматического управления. Системы характеризуются: запасом устойчивости, областями устойчивости, притяжения, качеством регулирования и другими характеристиками. Рассмотрим некоторые из них.

1. Структурная устойчивость (неустойчивость)

Это такое свойство замкнутой системы, при наличии которого она не может быть сделана устойчивой ни при каких изменениях параметров.

Пусть . Годограф Найквиста для данной системы изображен на Рис.А. Устойчивость этой системы определяется значениями параметров и. Рассматриваемая система является структурно устойчивой.

Пусть . (Рис.В). Устойчивость также зависит от параметров и. Система структурно устойчива.

Пусть . В любом случае (при любых значениях параметров) система будет неустойчива. То есть система является структурно неустойчивой.

В частном случае передаточная функция имеет вид . При этом соответствующее характеристическое уравнение замкнутой системы: . Нарушен принцип перемежаемости корней и полюсов. Система неустойчива. Структурно неустойчива.

Система с передаточной функцией - структурно неустойчива, так как для замкнутой системы, при этом коэффициенты,,,, - все положительны, но из условияследует, что, откуда, или. То есть система неустойчива.

Система также структурно устойчива. Здесь звено- квазиапериодическое (статически неустойчиво). Характеристическое уравнение замкнутой системы. Откуда можно получить два граничных условия:и.

Для одноконтурных систем имеют место условия (Мейеров М.В.):

Пусть одноконтурная система состоит из:

- интегрирующих звеньев,

- неустойчивых звеньев,

- консервативных звеньев. Тогда при отсутствии в системе дифференцирующих звеньев она будет структурно устойчива в том случае, если

В случае многоконтурных систем соотношения Мейерова необходимо применять к каждому контуру, входящему в систему.