2. Критерии устойчивости

Различают алгебраические и частотные критерии.

Алгебраические: критерий Раусса;

критерий Гурвица;

критерий Вышнеградского;

Частотные: критерий Михайлова;

критерий Найквиста;

логарифмический критерий Найквиста.

3. Алгебраический критерий устойчивости Раусса. 1875г.

Раусс выразил его в форме таблицы. Элементами первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения (полинома), начиная с . Элементы второй - нечетные коэффициенты, начиная с. Элементы последующих строк вычисляются по приведенным формулам.

Итак, характеристический полином , где.

				=…
			=…	=…
		=…	=…	=…
	и так далее	…	…	…

В данной таблице должна быть n+1строка.

Ниже приведены формулы, используемые при заполнении таблицы.

;;

;

Если все элементы первого столбца таблицы Раусса положительны (одного знака), то система устойчива. Если хотя бы один элемент отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака равно числу правых корней характеристического уравнения.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, то система находится на границе устойчивости, а характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней.

В случае, когда последний элемент равен нулю, то корень уравнения – нулевой вещественный. При нескольких нулевых последних элементах первого столбца таблицы имеется соответствующее количество нулевых корней характеристического уравнения.

4. Критерий устойчивости Гурвица. 1895 г.

На основании характеристического уравнения системы

.

строится определитель Гурвица (при ).

Свободные места заполняются нулями.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны.

Диагональные миноры:

;;; . . .

Пример 1. Пусть имеется система первого порядка, .

; (или);;.

Здесь не абсолютная величина, а определитель!!!

Вывод. Для устойчивости системы первого порядка необходима положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 2. Система второго порядка, n= 2.;; должно быть. Откуда.

Вывод. Для устойчивости системы второго порядка достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 3. Система третьего порядка;n= 3.

Вывод: Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения выполнение неравенства:.

5. О критическом коэффициенте усиления

; ; ;

;

.

(так как К > 0).

Неравенство .

Откуда ; ПриK_КРИТ = 8 _.

Следовательно, в системе для обеспечения ее устойчивости должно выполняться неравенство К < K_КРИТ .

3. Частотные критерии устойчивости

Основаны на использовании записи уравнений в форме Лапласа, когда в характеристическом полиноме системы (полиноме знаменателя передаточной функции) оператор Лапласаsзаменяется наj.

Первоначально рассмотрим принцип аргумента.

1. Принцип аргумента

Полином можно разложить на множители, тогда. Корнинаходятся из уравнения.

Средиnкорней уравненияn-m- левых,m- правых. Граничные корни можно отнести к правым корням.

1) Пусть все корни уравнения - вещественные.

Значит, находятся на вещественной оси.

При изменении  от 0 до

аргумент (угол вектора ) изменится на- для левого корня, на -- для правого корня.

2) В случае пары комплексных корней при изменении  от 0 досуммарное изменение аргумента составит:

для правых корней и:

;

для левых корней и

.

В целом приращение аргумента (по правилу перемножения комплексных чисел) составит:.

Для устойчивости системы необходимо потребовать, чтобы корни были только левые (m = 0).

Тогда система будет устойчива, если при изменении  от 0 доприращение аргументабудет равно:.