2. Запас устойчивости

Факт обнаружения устойчивости не дает уверенности в работоспособности системы.

Возможны неточности (погрешности), так как:

• математическое описании системы идеализировано;

• часто бывает произведена линеаризация звеньев;

• неточность определения параметров;

• изменение условий работы (по отношению к моделируемым).

Следовательно, необходим запас устойчивости.

При использовании критерия Гурвица запас определяется величиной предпоследнего минора:

Если - запас устойчивости отсутствует;- запас имеется.

Запас устойчивости в системе характеризует степень устойчивости.

Запас устойчивости и степень устойчивости можно определить по расположению корней характеристического уравнения и по частотных характеристикам системы.

Аналогично можно определить запас устойчивости по логарифмическим характеристикам L()и(),применяемым при определении устойчивости по критерию Найквиста.

3. Область устойчивости

На практике проектировщиков систем автоматического управления интересует пространство (область, пределы, диапазон) параметров, при которых системы является устойчивой. Множество значений параметров, при которых система обладает свойством устойчивости, называется областью устойчивостисистемы.

Для определения областей устойчивости имеется несколько методик.

1. На основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица;

2. Метод Д-разбиения;

3. Метод корневого годографа.

Область устойчивости по Гурвицуопределяется с помощью использования равенств в условиях Гурвица вместо неравенств. Чаще всего определение границы искомой области может быть произведено при условии. (Смотри пункт "Определение критического коэффициента усиления"). Отсюда определяется зависимость интересующего нас параметраот параметра. Получаемая зависимость()- граница области устойчивости системы.

В системах более высоких порядков возникает необходимость рассмотрения других миноров. При этом область устойчивости может сужаться.

1. Метод д-разбиения

Замкнутой системе автоматического управления ставится в соответствие ее характеристическое уравнение .

.

Путем решения данного уравнения находятся корни и убеждаются, что из nкорнейm₁- правых,n- m₁ - левых.

Можно представить, что в гиперпространстве n+1-го порядкаn+1осей, по которым откладываются значения коэффициентов характеристического уравнения. Тогда каждому сочетанию этих конкретных параметров соответствует точка в гиперпространстве, а в плоскости корней характеристического уравнения в тоже время их конкретное расположение.

Если изменить один или несколько коэффициентов уравнения, точка в пространстве займет новое положение, корни в плоскости корней также сместятся. При непрерывном изменении коэффициентов корни будут выписывать годограф. И при каком-то сочетании коэффициентов уравнения один из корней попадет в начало координат, либо два корня на мнимую ось. Когда это случится, то уравнение превратится в тождество:, потому как вещественная частьSвстанет равна 0.

При дальнейшем изменении параметров может случиться, что еще какие-то корни "выедут" на мнимую ось. Этот случай также будет соответствовать уравнению .

Таким образом, условиепредставляет собой уравнение гиперповерхности в гиперпространстве, пересечение которой соответствует приобретению или потере характеристическим уравнением одного вещественного или двух комплексных правых корней.

На практике используется Д-разбиение по одному (не очень интересно), либо по двум параметрам.

Предположим, что нужно выяснить влияние на устойчивость системы двух параметров: и, которые входят в характеристическое уравнение замкнутой системы линейно. Тогда данное уравнение может быть приведено к виду

.

После замены в уравнении s на jполучается система уравнений:

так как,

решение которой, например, по правилу Крамера, позволяет получить  и как функции:

,,.

Следовательно можно построить однопараметрические зависимости ии отобразить их на плоскости параметров. Полученная кривая при изменении от до является кривой Д-разбиения плоскости где откладывается по оси абсцисс, а- ординат. При движении по кривой Д-разбиения в сторону возрастанияштриховку наносят слева, если определитель положителен. Точка по кривой пробегает дважды: первый раз при изменении от до 0, второй - при измененииот 0 до. Однако при=0 определитель меняет знак, поэтому кривую оба раза штрихуют с одной стороны. Получается одна кривая с двойной штриховкой, соответствующая изменениюот 0 до. При некотором значенииопределитель может обратиться в ноль. Если при этом соответствующие миноры не обращаются одновременно в ноль, то точкауходит в бесконечность. Если же одновременно с определителем обращаются в ноль и миноры, то рассматривается уравнение прямой линии

,

называемой особой прямой. Всем ее точкам соответствует одно и тоже значение.

Особые прямые получаются также из уравнения при и из уравненияпри , если в эти уравнения входит хотя бы один из параметровили.

Правила штриховки следующие:

• Если особая прямая и кривая Д-разбиения сближаются асимптотически - штриховка особой прямой однократная, направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения.

• если особая прямая имеет общую точку с кривой Д-разбиения, но не пересекает ее - штриховка особой прямой однократная и около общей точки направлена к заштрихованной стороне Д-разбиения.

• если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения в двух точках - штриховка особой прямой двойная и направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения около той точки пересечения, в которой определитель меняет знак, около второй точки пересечения определитель знака не меняет и штриховку особой прямой не изменяют.

• если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения, но знак определителя не меняется - особую прямую не штрихуют.

После того, как кривая Д-разбиения и особые прямые построены, и на них нанесена штриховка, отыскивается область, внутрь которой направлена штриховка ее границ. Это область потенциальной устойчивости. С помощью любого критерия устойчивости проверяется, является ли система в какой-либо точке данной области устойчивой. Тогда рассматриваемая область принимается в качестве области устойчивости. Возможны случаи, когда области устойчивости отсутствуют.

Методом Д-разбиения плоскости по двум параметрам иногда можно выяснить влияние на устойчивость одного параметра, который входит в характеристическое уравнение нелинейным образом.

Пример. Имеется система, передаточная функция которой

.

Требуется произвести D–разбиение поT₁иК.Обозначим.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

.

После преобразований

.

Для построения границы области устойчивости рассмотрим уравнение

,

которое, после разделения на мнимую и комплексную части, преобразуется в систему

; или .

Вычисляя соответствующие определитель и миноры

, ,

, находим параметрические зависимости .

В точке определитель обращается в ноль. Соответствующие кривые(),К() иК() терпят разрыв.

Особые прямые получаются из уравнений и, которые для данного примера имеют вид:К+1=0 иТ₂Т₃=0 соответственно.

Уравнения особых прямых:

К = -1; = 0.

Ниже на рисунке приведены зависимости (),К() и построена область устойчивости системы.

Получили две области потенциальной устойчивостиD(0). Для проверки возьмем точку из верхней области (К=0, >0). Подставим эти значения в характеристическое уравнение: . В данной точке система будет устойчива, так все корни уравнения отрицательны. Аналогично проверяется и вторая область.

Область устойчивости, находящаяся в первом квадранте - рабочая область. Область устойчивости, находящаяся в третьем квадранте - область математически устойчивых решений (не рабочая).